几何直观是数学思想吗数学中的直观主要包含三种( 三 ) _知识分享

再来看线性代数教程。“向量”是最重要的基本概念之一。在目前所见到的很多教科书 (其中有些是早年的) 中，向量定义为有序数组。这样的定义不仅费解 (与解析几何中的定义相距甚远) ，而且向量的运算还要另外定义。一般说来，要直到学了很多内容后才明白向量是什么。
这样的定义有明显的缺陷，没有揭露向量的本质。详言之，有序数组是向量在取定的坐标系下的表达，是“how”层面的，而好的定义应该是“what”层面的。
从“what”层面看，向量就是向量空间的元素，脱离向量空间来讨论向量是没有意义的。向量的运算，都涉及多个向量以及它们之间的关系。所以，要明白什么是向量，归根结底要明白向量空间。
然而，很多线性代数教科书中根本就没有向量空间。即使有，很多教师也不讲。常见的理由是，向量空间太“抽象” ，学生难以理解。那么，基于向量空间的很多概念和定理，当然就更不能讲了。
其实向量空间的概念并不算很“抽象” ，国外一些大学本科代数教科书是先讲群论后讲线性代数，显然比我国的线性代数或高等代数教科书更“抽象” 。另一方面，我国现在的中学生都要花很多工夫学集合，但从教科书上看不到有什么用（除了刷题）。若是对于向量空间概念的高明之处有所领悟，至少会觉得集合是有用的。所以，至少有一部分学生理解向量空间并无困难。而对于有困难的学生，需要教育者的耐心，例如可以采取如下的途径讲授。
注意学生在解析几何中学过平面向量和空间向量，而且知道一些物理应用。在初等的数学和物理教科书中一般会讲向量的直观，即“既有大小又有方向的量” ，而且较好的教科书中还会指出，这只是一种直观，并非既有大小又有方向就是向量 (例如电流) 。学生通过物理意义可以对向量有正确的理解，尽管还没有向量空间的概念。那么，从向量的这些直观概念推进到一般的向量空间，本质上只是维数可以不受限制。因此，可以先复习解析几何中的平面向量和空间向量，包括它们的直观意义和物理应用，然后系统地复习和整理向量的运算，再复习和整理向量在直角坐标系下的表达。然后举例说明高维的向量也是有数学和物理意义的。由此引导到一般的向量空间，就不很“抽象”和难于理解了。当然这需要多花费一些时间，但对于后面的学习是有利的。

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还值得指出，一般不能说定义的对错（Yuri Zarhin 曾无奈地说: “Well ， every definition is correct”），只能说定义的优劣。一个好的定义能够揭示客观存在或自然规律，启迪思维，引导有意义的研究方向。在极端的情形，甚至一个好的定义就解决了问题。遗憾的是很多定义有缺陷。有的教科书将直观当作定义，毫无科学严谨性可言，有些还颇为费解，或语义含混，或几乎是同义反复（参看 [2]），这些都是误人子弟。有些定义虽然严谨，但没有背景，不自然（有人为设置的条件），在极端的情形甚至所定义的东西根本不存在。尽管由这样的定义可以推导出一些定理，可以写论文发表，但对科学并无贡献，也不会有应用，只是逻辑游戏而已。还有一类情形，虽然所定义的对象是客观存在且值得研究的，但定义的条件复杂或费解（如上面所说的将表达作为定义），尤其不利于初学者。其中有些还可能导致偏见或心理障碍。
由上所述可见，在数学教程中如何给出定义，经常是值得研究的。这是张景中先生所说的“教育数学” (参看 [6]) 的一个课题。
参考文献
[1] 姜树生: 谈数学教育的特殊性——兼谈如何处理数学与教育学的关系. 数学通报 2008 年第 4 期
[2] 姜树生: 现行统编中学数学教科书有多烂 (2016)
[3] 李克正: 《抽象代数基础》，研究生数学丛书 6. 清华/Springer 出版社 (2007)

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