今天我们来讨论函数的基本性质2--函数的奇偶性 。
废话少说 , 先来看它们的定义:
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奇函数定义
奇函数:设函数y=f (x)的定义域为D , 如果对D内的任意一个x , 都有f(-x)=-f(x) , 则这个函数叫奇函数 。
看完定义 , 有些同学还是很懵逼 。没关系 , 举个例子你就懂了 。函数f(x)=x就是一个奇函数 。你套一下就知道:
f(-x)=-x=-f(x) , 满足f(-x)=-f(x)
所以 , f(x)=x就是一个奇函数 。
再来看偶函数:
【偶数是什么意思 质数是什么意思】
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偶函数定义
偶函数:设函数y=f (x)的定义域为D , 如果对D内的任意一个x , 都有f(-x)=f(x) , 则这个函数叫做偶函数.
同样的 , 举个例子就明白了 。f(x)=x2就是一个偶函数 , 同理 , 你套一下就知道了:
f(-x)=(-x)2=x2=f(x) , 它刚好满足f(-x)=f(x)的形式 , 所以它是偶函数 。
根据上面欧阳老师所举的2个例子 , 细心的同学应该发现了:关于x的幂函数f(x)=xn , 只要n是奇数 , 它就是奇函数;比如n=3 , f(x)=x3 , 是奇函数 。只要n是偶数 , 它就是偶函数;比如n=4 , f(x)=x4,是偶函数 。恭喜你 , 居然额外发现了幂函数的秘密!
关于幂函数 , 下节课老师会讲到 。下面欧阳老师要提几个关于函数奇偶性的问题 。
问题1:奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字 , 说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?与单调性有何区别?
强调定义中“任意”二字 , 说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质 , 它不同于函数的单调性 .
问题2:-x与x在几何上有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征?
奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.
2. 奇函数与偶函数图象的对称性:
如果一个函数是奇函数 , 则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之 , 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 , 则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数 , 则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之 , 如果一个函数的图象关于y轴对称 , 则这个函数是偶函数.
注意!函数奇偶性的这2个特点非常重要 , 且是一个互为逆反命题 , 且都成立 。
好 , 下面来做一些练习:
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练习题
自己先做 , 后面有答案:
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练习1的答案
判断函数奇偶性的步骤:
第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称;第二步判断f (-x)=f (x)还是判断
f (-x)=-f (x).
对于一个函数来说 , 它的奇偶性有四种可能:
是奇函数但不是偶函数;
是偶函数但不是奇函数;
既是奇函数又是偶函数;
既不是奇函数也不是偶函数.
再来一道难一点的题练练手 , 这道题会的话 , 说明对于函数的奇偶性你已经掌握地非常好了 。题目和答案都在图片上了 , 如果不会做的同学 , 想知道解题过程 , 可以私信我 。
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最后再来总结一下今天所学的内容:
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