圆周角和圆心角的关系,怎么证明圆心角和圆周角的关系 _知识分享

本文目录

1.怎么证明圆心角和圆周角的关系
2.圆周角和圆心角的关系证明
3.圆周角和圆心角的关系
4.圆周角与圆心角的关系

怎么证明圆心角和圆周角的关系
已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证：∠BOC=2∠BAC 。
证明：
情况1：,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：,当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO,并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO,并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∵∠BAC=∠CAD-∠BAD
∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。联系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．对于在推理论证及相关计算中有着广泛的用途。半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。这两个推论是判定直角或直角三角形的又一依据，为在圆中确定直角，构造垂直关系，创造了条件，因此它是圆中一个很重要的性质。

文章插图
圆周角和圆心角的关系证明
一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即圆周角定理。
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，这一定义实质上反映的是圆周角所具备的两个特征：①顶点在圆上， ②两边都和圆相交。这两个条件缺一不可。

文章插图

扩展资料：
性质
①顶点是圆心；
②两条边都与圆周相交。
③圆心角性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距，四对量中只要有一对相等，其他三对就一定相等。
④一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数。
⑤半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角的关系如下：
1、圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2、圆周角和圆心角的性质和定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
3、在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧) 。

文章插图

圆心角性质
①顶点是圆心。
②两条边都与圆周相交。
③圆心角性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距，四对量中只要有一对相等，其他三对就一定相等。
④一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数。
⑤半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
圆周角与圆心角的关系圆周角是指顶点在圆上且角的两边是圆的弦，圆心角是指顶点是圆心，角的两边是这个圆的半径的角。它们的关系是同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。