矩阵的秩可以直观地理解为筛眼的大小：

文章插图
下面就来解释这句话是什么意思？
1 矩阵的作用
假设对于向量 x1 、 x2、 x3、x4 有：


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上述关系可以用图像来表示，左侧的向量 x1 、 x2、 x3、x4，在 A 的作用下，变为了右侧的向量 y1 、y2 、y3 、y4 ：


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将各个向量依次连起来就得到了两个矩形 。那么可以这么理解，左侧的矩形在 A 的作用下，变为了右侧的矩形：


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2 矩阵的秩
如果 A 的秩不一样，那么左侧的矩形在 A 的作用下，右侧就可能得到不同的图形：


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有一个很明显的特点，矩阵的秩 rank(A) 越小，得到的图形越小（这里直接给结论了，细节就不展开了）：


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3 矩阵是筛子
因为上面的结论，所以可以将矩阵 A 看作一个筛子：


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那么矩阵的秩 rank(A) 可以看作筛眼的大小，rank(A) 越小对应的筛眼越小（忽略掉筛子的形状，下面用带网格的圆来表示筛子）：


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筛眼越小，自然漏过去的越小 。
4 矩阵复合的秩
把矩阵的秩看作筛眼的大小还是有一定解释能力的 。比如矩阵的秩有如下的性质，该性质也称为矩阵复合的秩：


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A 、B 可以看作两个筛子：


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可以用带网格两个圆来表示这两个筛子，可以看到各自的筛眼大小不同，也就是各自的矩阵的秩不相同：


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当这两个筛子叠在一起的时候，叠加部分的筛眼变小了，比单独某一个筛子的筛眼要小：


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所以此时有：


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当然还有可能 A 、B 如下：


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这时叠在一起时，叠加部分的筛眼等于其中某一个筛子的筛眼：


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所以此时有：


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综合起来就是：


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5 满秩矩阵复合的秩
满秩矩阵 P 可以看作完全没有筛眼的筛子：


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【矩阵的秩的性质及其应用，浅谈矩阵的秩及其应用】 这样两者复合，筛眼大小就完全取决于 A ：


文章插图
所以可得到满秩矩阵复合的性质：


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