克山三角形总面积公式证明 海伦公式非常简单证明

海伦公式又译希伦公式,传说故事是古时候的叙拉古君王希伦二世发觉的公式,运用三角形的三条周长来求得三角形总面积 。但依据Morris Kline在1908年出版发行的着作资格证书,这条公式实际上是阿基米德所发觉,以托希伦二世的名发布 。
假定有一个三角形,周长各自为a、b、c,三角形的总面积S可由下列公式求取:
S=\\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}


克山三角形总面积公式证明 海伦公式非常简单证明

文章插图
而公式里的s:
s=\\frac{a b c}{2}
因为一切n边的不规则图形都能够切分成n-两个三角形,因此 海伦公式能够作为求多边形面积的公式 。例如精确测量土地资源的总面积的情况下,无需测三角形的高,只需测二点间的间距,就可以便捷地导出来回答 。
[编写]证明
与克山在他的着作"Metrica"中的初始证明不一样,在这里大家用三角公式和公式形变来证明 。设三角形的三边a、b、c的顶角各自为A、B、C,则馀弦定律为
\\cos(C)=\\frac{a^2 b^2-c^2}{2ab}
进而有
\\sin(C)=\\sqrt{1-\\cos^2(C)}=\\frac{ \\sqrt{-a^4 -b^4 -c^42a^6b^26b^2c^22c^2a^2}}{2ab}
因而三角形的总面积S为
S=\\frac{1}{2}ab \\sin(C)
=\\frac{1}{4}\\sqrt{-a^4 -b^4 -c^42a^6b^26b^2c^22c^2a^2}
=\\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
【克山三角形总面积公式证明 海伦公式非常简单证明】最终的等于号一部分能用因式分解给予导出来