1、1,2,2,4,均值不等式及其应用,等式与不等式,首页,课标阐释,思维脉络,1,了解均值不等式的证明过程,理解均值不等式成立的条件,等,号成立的条件及几何意义,2,会运用均值不等式解决最,值、范围、不等式证明等相关,问题,3,掌握运用均值不等式,a+b,2,ab,a,b,0,求最值的常用,方法及需注意的问题,课前篇,自主预习,一,二,三,知识点一、重要不等式,1,填空,对于任意实数,a,b,有,a,2,b,2,2,ab,当且仅当,a=b,时,等号成立,2,怎样比较,a,2,b,2,2,2,2,ab,三者的大小关系,提示,a,2,b,2,2,2,2,ab,当且仅当,a=b,时等号成立,利用作差法 。

2、,即可证明,课前篇,自主预习,一,二,三,3,做一做,已知,a,b,R,且,a,2,b,2,4,则,ab,A,有最大值,2,有最小值,2,B,有最大值,2,但无最小值,C,有最小值,2,但无最大值,D,有最大值,2,有最小值,0,解析,这里没有限制,a,b,的正负,则由,a,2,b,2,4,a,2,b,2,2,ab,得,ab,2,所以,2,ab,2,可知,ab,的最大值为,2,最小值为,2,答案,A,课前篇,自主预习,1,给定两个正实数,a,b,数,2,称为,a,b,的,算术平均值,数,称为,a,b,的,几何平均值,2,均值不等式,如果,a,b,都是,正数,那么,2,当且仅当,a=b,时,等号 。

3、成立,均值不等式也称为,基本不等式,其实质是,两个正实数,的算术平均值,不小于,它们的几何平均值,3,公式变形,a+b,2,ab,2,2,a,b,0,当且仅当,a=b,时,等号成立,a,1,2,a,0,当且仅当,a,1,时,等号成立,2,a,b,同号,当且仅当,a=b,时,等号成立,一,二,三,知识点二、均值不等式,1,填空,课前篇,自主预习,一,二,三,2,均值不等式与不等式,a,2,b,2,2,ab,的关系如何,请对此进行讨论,提示,1,在,a,2,b,2,2,ab,中,a,b,R,在,a+b,中,a,b,0,2,两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实,质不同,范围不同,3 。

4、,证明的方法都是作差比较法,4,都可以用来求最值,2,3,做一做,设,a,0,b,0,若,a+b,1,则,1,1,的最小值为,A,8,B,4,C,1,D,1,4,解析,若,a+b,1,a,0,b,0,2,1,2,ab,1,4,1,1,1,1,1,4,4,答案,B,课前篇,自主预习,一,二,三,知识点三、重要结论,1,思考,填空,已知,x,y,都为正数,则,1,若,x+y=S,和为定值,则当,x=y,时,积,xy,取得最大值,____,2,若,xy=P,积为定值,则当,x=y,时,和,x+y,取得最小值,_____,2,应用上述两个结论时,要注意哪些事项,提示,应用上述性质时注意三点,1,各项或 。

5、各因式均为正,2,和或,积为定值,3,各项或各因式能取得相等的值,即,一正二定三相等,1,4,S,2,2,课前篇,自主预习,一,二,三,3,做一做,已知,x,y,0,且,x,4,y,1,则,xy,的最大值为,解析,因为,x,y,0,且,x,4,y,1,所以,xy,1,4,x,4,y,1,4,1,4,x,4,y,2,1,16,当,且仅当,x,4,y,1,2,即,x,1,2,y,1,8,时,等号成立,所以,xy,的最大值为,1,16,答案,1,16,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,利用均值不等式求范围或最值,例,1,1,已知,x,y,0,且,2,x+y,1,求 。

6、,1,1,的最小值,2,已知,0,x,1,2,求函数,y=x,1,2,x,的最大值,分析,1,利用,1,的代换,即将,1,1,等价转化为,1,1,1,或,2,2,即可,2,将,x,1,2,x,变形为,1,2,2,x,1,2,x,利用,2,x,1,2,x,1,为定值即,可,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解,1,1,1,1,1,2,x+y,2,2,1,3,2,3,2,2,3,2,2,当且仅当,2,即,2,2,1,1,2,2,2,2,2,时等号成立,1,1,的最小值为,3,2,2,2,0,x,1,2,1,2,x,0,y=x,1,2,x,1,2,2,x,1,2, 。

7、x,1,2,2,1,2,2,2,1,8,当且仅当,2,x,1,2,x,即,x,1,4,时,等号成立,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟,1,利用均值不等式求范围或最值时要注意,1,x,y,一定要都是正数,2,求积,xy,最大值时,应看和,x+y,是否为定值,求和,x+y,最小值时,应,看积,xy,是否为定值,3,等号是否能够成立,2,有时需结合题目条件进行添项、凑项以及,1,的代换等,目的是,为了使和或积为常数,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练,1,已知,x,2,求函数,f,x,x,4,2,的最大值,解, 。

8、x,2,2,x,0,f,x,x,4,2,2,4,2,2,2,2,4,2,2,2,当且仅当,2,x,4,2,时,等号成立,解得,x,0,或,x,4,舍去,即当且仅当,x,0,时,等号成立,x,4,2,的最大值为,2,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,利用均值不等式比较大小,例,2,若,a,b,0,试比较,a,2,2,2,2,2,1,1,b,的大小,分析,这是一个有趣的不等式链,取特殊值可判断其大小关系,借,助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解,a,b,0,2,2,2,2,2,2 。

9、,a,a,2,b,2,2,ab,2,a,2,b,2,a+b,2,2,2,2,2,2,又,a,0,b,0,则,2,2,2,2,2,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,b,0,2,1,1,b,a,2,2,2,2,2,1,1,b,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟利用均值不等式比较大小的关注点,利用均值不等式比,较大小,其实质也是不等式的证明问题,但要注意对所求对象进行,适用条件的验证及等号成立条件的探求,必要时,也要与之前讲述,的作差法或作商法综合进行大小比较,对于结论可首先取特殊值得,到,再作论证即可,注意,本例题中的,2,1,1,2,2, 。

来源：(未知)

【学习资料】网址：/a/2021/0321/0021737548.html

标题：均值不等式及其应用 等式与不等式