1、二重积分在极坐标系下的计算,一、二重积分的极坐标计算公式,二、典型例题,1,O,d,d,d,d,多于两点,的边界曲线相交不,与,内部的射线,过闭区域,出发且穿,从极点,的特点,区域,D,D,O,D,考虑典型小闭区域,曲边四边形区域,d,d,d,d,d,极坐标系中的面积元素,一、二重积分的极坐标计算公式,2,sin,cos,y,x,d,d,d,d,y,x,二重积分的变量从直角坐,标到极坐标的变换公式,D,D,f,y,x,y,x,f,d,d,sin,cos,d,d,O,d,d,d,d,3,计算方法,化为二次积分,O,D,1,2,2,1,D,2,0,0,2,1,2,1,C,其中,4,O,D,1,2, 。

2、E,F,1,2,2,1,上取定,在,2,1,d,sin,cos,f,F,d,F,D,f,d,d,sin,cos,d,d,sin,cos,2,1,f,2,1,d,sin,cos,d,f,5,适用范围,1,极坐标计算,可考虑用,圆环或扇形区域时,为圆域,通常,简单,程表示比较,的边界曲线用极坐标方,积分区域,D,D,2,2,2,标计算,式时可以考虑使用极坐,的因,通常当被积函数中含有,并易于积分,函数表达式可以简化,被积函数使用极坐标后,y,x,6,二重积分化为二次积分几种常见的情形,O,D,1,2,2,1,D,情况一,D,f,d,d,sin,cos,O,1,2,D,d,sin,cos,d,2,1 。

3、,f,7,0,D,情况二,O,D,二重积分化为二次积分几种常见的情形,D,f,d,d,sin,cos,d,sin,cos,d,0,f,8,2,0,0,D,情况三,O,D,d,d,D,S,D,的面积,区域,以上各种情形,二重积分化为二次积分几种常见的情形,D,f,d,d,sin,cos,d,sin,cos,d,2,0,0,f,9,d,d,e,2,2,2,2,2,a,y,x,a,D,y,x,D,y,x,的圆域,为,半径,是中心在原点,其中,计算,解,a,D,y,x,y,x,0,2,0,d,e,d,d,d,e,2,2,2,e,1,2,a,2,0,0,a,D,二、典型例题,例,1,10,1,0,1,1 。

4、,d,d,2,x,x,y,x,y,x,D,y,x,y,x,f,D,其中,积分,化为极坐标形式的二次,将,解,1,圆的方程为,cos,sin,1,直线方程为,D,y,x,y,x,f,d,d,所以,d,sin,cos,d,1,cos,sin,1,2,0,f,sin,cos,y,x,因为,1,y,x,1,2,2,y,x,例,2,11,d,e,1,0,2,x,x,计算,结果,利用例,2,1,D,S,D,显然,例,3,解,2,2,2,1,R,y,x,y,x,D,2,2,2,2,2,R,y,x,y,x,D,0,0,y,x,0,0,R,y,R,x,y,x,S,1,D,2,D,S,S,D,2,D,R,R,2, 。

5、0,e,2,2,y,x,因为,S,y,x,y,x,d,d,e,2,2,d,d,e,2,2,2,D,y,x,y,x,1,2,2,d,d,e,D,y,x,y,x,所以,12,R,y,R,x,y,x,0,0,d,e,d,e,2,2,d,e,2,0,2,R,x,x,R,0,0,d,e,d,2,2,e,1,4,2,R,e,1,4,2,2,R,S,y,x,y,x,I,d,d,e,2,2,又因为,1,2,2,d,d,e,1,D,y,x,y,x,I,2,2,2,d,d,e,2,D,y,x,y,x,I,同理,13,4,1,I,4,2,I,4,n,I,所以根据夹逼准则,2,1,I,I,I,因为,e,1,4,d,e 。

【二重积分|二重积分在极坐标系下的计算课件】6、,e,1,4,2,2,2,2,2,0,R,R,x,R,x,所以,时,当,R,4,d,e,2,0,2,x,x,即,14,0,3,0,3,4,2,d,d,2,2,2,2,2,2,所围成的平面区域,计算,x,y,y,x,y,y,x,y,y,x,D,y,x,y,x,D,边界曲线的极坐标方程,sin,2,2,2,2,y,y,x,sin,4,4,2,2,y,y,x,6,0,3,y,x,3,0,3,x,y,D,y,x,y,x,d,d,2,2,解,sin,4,sin,2,2,3,6,d,d,3,2,15,例,4,15,4,1,d,d,sin,2,2,2,2,2,2,y,x,D,y,x,y,x,y,x,D,求, 。

7、解,1,d,d,sin,4,d,d,sin,2,2,2,2,2,2,2,2,D,D,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,d,sin,d,4,2,1,2,0,1,D,4,积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标轴,对称,例,5,16,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,所围成的图形的面积,和,求由曲线,a,y,x,y,x,a,y,x,4,1,D,D,S,S,根据对称性,2,cos,2,2,2,2,2,2,2,2,a,y,x,a,y,x,a,a,y,x,2,2,2,6,2,cos,2,a,a,a,得交点,1,D,例,6,解,17,1,d,d,4,d,d,D,D,y,x,y,x,S, 。

8、2,cos,2,6,0,d,d,4,a,a,3,3,2,a,18,0,2,4,2,2,2,2,2,2,部分立体的体积,的那,所截得的含在圆柱面内,被圆柱面,计算一个球体,a,ax,y,x,a,z,y,x,例,7,19,2,0,cos,2,0,a,D,D,y,x,y,x,a,V,d,d,4,4,2,2,2,cos,2,0,2,2,2,0,d,4,d,4,a,a,3,2,2,3,32,3,a,解,x,y,O,a,2,D,ax,y,x,2,2,2,20,4,2,2,1,d,d,2,2,2,2,2,2,2,2,xy,y,x,y,x,y,x,D,y,x,xy,I,D,双纽线所围成,由下列,其中积分区域, 。

9、计算,2,cos,2,1,2,双纽线的极坐标方程为,见图,其所围区域,D,是奇函数,关于,而被积函数,轴对称,关于,由于积分区域,y,xy,x,D,0,d,d,D,y,x,xy,故,x,y,O,例,8,解,21,2,sin,2,2,2,双纽线的极坐标方程为,见图,其所围区域,D,关于原点对称,由于积分区域,D,满足,而被积函数,xy,y,x,f,d,d,2,1,D,y,x,xy,I,故,x,y,O,1,轴上方的部分,的关于,为,其中,x,D,D,y,x,y,x,f,y,x,f,xy,22,d,cos,sin,d,2,2,sin,2,0,2,0,2,I,2,0,3,d,2,sin,t,t,t,d,sin,2,1,2,0,3,t,t,d,sin,2,2,1,2,0,3,3,2,3,2,2,2,1,23 。

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标题：二重积分|二重积分在极坐标系下的计算课件