1、二重积分的计算法,续,三、二重积分的换元法,二、利用极坐标计算二重积分,一,引言,1,二重积分的定义,2,二重积分在直角坐标系下的计算,转化成二次积分,1) X,型区域下,D,y,x,y,x,f,d,d,y,y,x,f,x,x,d,2,1,b,a,x,d,2) Y,型区域下,x,y,x,f,y,y,d,2,1,d,c,y,d,3,一般区域,D,下,分割成若干块,X,区域或,Y,型区域,3,问题,在极坐标系下,二重积分的计算会是,怎样的,1,极坐标变换,2,极坐标线,二,极坐标系下二重积分的计算,1,表达式,D,y,x,f,d,d,d,r,r,D,r,r,f,sin,cos,在极坐标系,上连续, 。

【二重积分|二重积分极坐标系下】2、在有界闭区域,设,D,y,x,f,D,D,的表达式为,下,则,2,计算公式,D,2,1,下,型区域,在,r,r,r,2,1,下,型区域,在,r,r,r,b,r,a,D,r,2,1,sin,cos,sin,cos,r,r,D,rdr,r,r,f,d,rdrd,r,r,f,2,1,sin,cos,sin,cos,r,r,D,b,a,rd,r,r,f,dr,rdrd,r,r,f,1,2,例,21.1,0,2,D,2,2,2,2,a,ax,y,x,D,dxdy,y,x,其中,计算,解,x,y,o,a,2,D,D,rdrd,r,dxdy,y,x,2,2,2,2,3,3,cos,2,0,2,2,2,cos 。

3、,3,8,d,a,dr,r,d,a,9,32,3,a,例,21.2,计算,其中,2,2,2,a,y,x,D,解,在极坐标系下,2,0,0,a,r,D,原式,D,r,e,r,a,r,d,0,2,1,2,a,e,d,d,r,r,2,0,d,故,2,d,0,2,x,e,x,例,21.3,证明,例,21.4,所围成区域,求曲线,2,2,2,2,2,2,2,y,x,a,y,x,2,2,2,之外部分的面积,在圆域,a,y,x,解,x,y,o,a,a,2,D,D,rdrd,dxdy,S,4,1,4,2,cos,2,6,0,4,a,a,rdr,d,3,3,2,a,例,21.5,求球体,被圆柱面,x,a,y,x 。

4、,2,2,2,所截得的,含在柱面内的,立体的体积,解,设,由对称性可知,2,0,cos,2,0,a,r,D,d,d,4,4,2,2,r,r,r,a,V,D,cos,2,0,2,2,d,4,a,r,r,r,a,3,2,2,3,32,3,a,o,x,y,z,a,2,例,21.6,y,x,z,y,x,z,与平面,求旋转抛物面,2,2,所围成立体的体积,解,D,dxdy,y,x,y,x,V,2,2,D,rdrd,r,r,sin,cos,2,4,sin,2,0,2,4,3,4,4,sin,2,rdr,r,r,d,8,例,21.7,交换积分顺序,解,a,r,arccos,cos,a,r,o,x,a,r,r 。

5、,a,r,0,d,a,r,arccos,a,r,arccos,I,d,r,f,y,例,21.8,为,其中,计算,D,dxdy,y,x,D,2,2,和直线,由圆,y,y,x,y,y,x,4,2,2,2,2,2,3,3,所围成的平面区域,x,y,y,x,解,D,rdrd,r,dxdy,y,x,2,D,2,2,3,2,15,sin,4,sin,2,3,3,6,dr,r,d,o,x,y,2,4,二重积分换元法,定理,上连续,在有界闭区域,设,D,y,x,f,D,D,v,u,v,u,y,y,v,u,x,x,T,变换,满足,1,上具有一阶连续偏导数,在,D,v,u,y,v,u,x,0,2,v,u,y,x, 。

6、v,u,J,Jacobi,D,行列式,上,在,3,是一一对应的,变换,D,D,T,则有,dudv,v,u,J,v,u,y,v,u,x,f,dxdy,y,x,f,D,D,例,21.9,计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成的闭域,解,令,x,y,v,x,y,u,则,2,2,u,v,y,u,v,x,v,u,y,x,J,v,u,e,v,u,D,d,d,2,1,1,e,e,2,y,x,D,x,o,y,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,d,d,y,x,D,D,D,2,v,v,u,v,u,u,o,v,x,y,x,y,e,例,21.10,1,2,2,2,2,2,2,c,z,b,y,a,x,计算椭球体,的体积,解,dxdy,b,y,a,x,c,V,D,2,2,2,2,1,8,1,0,2,2,0,2,1,8,1,8,rdr,r,d,abc,abrdrd,r,c,D,3,4,abc 。

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标题：二重积分|二重积分极坐标系下