返朴|中心极限定理:从高尔顿板到麦克斯韦分布


神奇的正态分布源于“加” 。
撰文 | 张和持
时隔多年 , 或许你早就记不得16岁那年夏天高中闷热的教室 , 但可能会记得有一天数学老师说着要给大伙看个稀奇——一块祖传的高尔顿板 。 尽管班上大多数同学都叫不出它的名字 , 却也从小到大在科技馆、博物馆见多了 , 一点都提不起劲儿 。 老师一本正经地开始讲 , 这个图形就是正态分布 , 它有诸多的性质……午后的时光更加昏沉而缓慢地流逝 。
不过 , 这里面蕴含的数学可一点都不无聊 , 让我们来观察一下高尔顿板的结构 。

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杨辉三角/图片来源:维基百科

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不过这一结论在当时并没有引起重视 , 毕竟并不是所有赌徒都能像梅雷一样交上帕斯卡这样的朋友 。 百年之后 , 拉普拉斯试图挽救这个定理的人气 , 依然没有成功 。 为了纪念这对“难兄难弟” , 现在人们把这个定理称为棣莫弗-拉普拉斯定理 。

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在物理学中 , 误差来自于无关因素的微小扰动 。 这些扰动加起来 , 就是整体的误差 。 这个整体误差虽然层次不齐 , 但形状与正态分布还是大致吻合的 。 从那以后 , 实验的误差一般都当作是正态分布 。 为了纪念高斯的贡献 , 也把正态分布称为高斯分布 。
至此 , 我们已经大概能想象到 , 正态分布的逼近与这种“加”的性质有关 , 剩下证明就是数学家的事了 。 如今 , 我们把这一系列逼近正态分布的性质称为“中心极限定理” , 结论从最初的二项分布 , 已经扩展到了任意分布(包括同分布和不同分布)的广阔天地 。 就如同上一段中的误差——即便我们对微观下的扰动一无所知 , 也能通过这种极限形式 , 了解大样本下的整体行为 。
应用这一思想的最为经典的例子当属统计力学 。 假如有一大堆粒子 , 每个都杂乱无章地运动 , 我们自然无从知晓每一个粒子的运动状况 。 不过 , 如果把每一个粒子的动量当作是一个随机分布的话 , 那就可以把所有这些分布“加”起来当做整体的动量 。 如此一来 , 中心极限定理岂不是大有用处?
的确如此 。 如果对理想气体应用中心极限定理 , 得到的正是大名鼎鼎的麦克斯韦速度分布:

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物理学中一般是用玻尔兹曼分布来推导麦克斯韦分布的 , 但玻尔兹曼分布本身也可以用中心极限定理间接推导出来 。 之所以说是间接 , 只需要看它的形式

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这根本不是正态分布 。 归根结底 , 能量的分布在这里不能相加 , 但在推导过程中 , 还是能见到正态分布 。 具体操作会稍微复杂一些 , 这里就不扯远了 。
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【返朴|中心极限定理:从高尔顿板到麦克斯韦分布】[1] A. I. Khinchin, Mathematical Foundations of Statistical Mechani