躺着看电影|漫长而曲折的真理探索，既依赖于经验，又受限于经验

数学中作为逻辑推理起点的公理不来自逻辑演绎，而是由经验知识经由“理智的构造”与“自由的发明”之后的过滤。科学大师钱学森称经验为“前科学” ，而其中的一部分将会条理化之后，纳入到科学体系中：
我以为，我们谈信息，或者说知识，说人类的精神财富，包括两大部分，一部分是现代科学体系，还有一部分是不是叫前科学，即进入科学体系前的人类实践经验。
《几何原本》中的几何公理，就是埃及的经验知识经由古希腊人的过滤而产生的。古希腊人以为，公理是“不证自明”的真理，是完全可以接受的。正如数学家克吕格尔所说：“所谓公理的不证自明特性，其实质在于它是符合经验的” 。也正由于如斯，一些古希腊人开始质疑欧几里德的平行公理，由于它并不是那么“显而易见” 。

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经验与直觉
【直觉以经验为基础】直觉是从经验到一般命题的过渡和奔腾，以对经验的共识的理解为依据。所以，直觉代替了逻辑来填补感觉经验与普遍命题之间的鸿沟。正所谓“巧妇难以无米之炊” ，这“经验”就是“直觉”的炊米。
【直觉不以固定的归纳法程序来完成】不完全归纳法，通过对一类事物的部门对象的考察，从中作出有关这一类事物的一般性结论的猜想。大致包含以下几个阶段：观察、实践；推广；预测一般性结论。

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【直觉是一种直接的理解与领悟】直觉不经由通常的“三段式”推理，是一种直接的理解与领悟，可能在长期的沉思以后才能泛起这种领悟。
数学家罗巴切夫斯基数十年数学研究之心得：
平行线理论（即欧几里德平行公理）的这个难题，必需通过经验才能彻底解决，我相信，不依赖于经验，去寻求这个熟悉的真理性证实是徒劳的。
彭加勒以为：
纯粹数学家，假如健忘外部世界的存在，那么他就会象这样一位画家：固然深知色与形如何配合，但是因为缺乏什物基础，其创作能力会很快衰竭。

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经验的局限性
一般说来，经验越是丰硕，产生直觉的基础就越雄厚，直觉思维能力就越强。但经验并不可靠，由于经验来源于个人的实践，还会受到历史文化背景、科学环境的约束，从而具有局限性，往往会束缚新科学思惟的诞生。

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自欧几里德《几何原本》的问世直到公元1800年，几乎所有的数学家都相信“欧氏几何是现实空间的独一准确抽象模型” ，由于它经受住了人们长期实践经验的不断证明。尽管在2000多年中多次泛起了非欧几何思惟的萌芽，因为这些“奇特”的思惟与传统的经验不相符合，没人承认“新几何”的实在性。直到， 19世纪30年代俄国数学家罗巴切夫斯基公然提出非欧几何的存在性后的半个世纪才为众人所公认。当代，非欧几何的理论得到很大发展，同时应用也有了用武之地，爱因斯坦的广义相对论就采用了非欧几何来阐明。更重要的是：非欧几何的面世使得数学家们从根本上改变了对数学绝对真理性的看法，重新认识了数学与物质世界之间的相互关系。
发展的曲折与奔腾
唯物辩证法以为：事物的发展老是量变与质变、连续与中断、渐进与革命、肯定与否定的同一。而数学的发展可以描绘为一个由很多小的进展所组成的相对不乱的发展过程，再叠加上几个巨大的奔腾。解析几何、微积分以及群论的发明都是巨大的奔腾。分页标题

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从渐进到革命的标志是旧经验模式，或者说是旧“规范”的改变。由一定时代社会实践水平决定的规范，限制着该时代科学家们的眼界，但这种规范限制并不是绝对的、不可突破的。跟着时代的发展，实践水平的进步，人们必然会打开眼界，突破旧的视野，看到旧的规范无法说明的新的现象，从而产生新的规范。

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早在牛顿和莱布尼茨的时代，连续性和可微性的关系就是古典分析中的重要课题：数学家们早已知道连续性是可微性的必要条件，但对其充分性的认知却很漫长。话句话说，可微的函数必定连续，那么连续的函数一定可微么？
直到19世纪，包括高斯、柯西和狄利克雷等人在内的数学家，都以为“任何连续函数除个别点外都是可微的” ，更没人相信“处处不可微的连续函数”的存在，由于这种“病态函数”不符合经验、也不直观。直到波尔察诺于1834年给出第一个“病态函数”之后，大批数学家纷纷给出更多的实例。这使得数学分析从对几何概念、运动和直觉了解的完全依靠中解放出来；然而争论依然存在，庞加莱就以为这种希奇的病态函数无实际意义，埃米尔特更是厌恶这种不可微函数的存在。然而之后的数学发展表明，对函数的精确研究进一步催生了新数学分支的诞生——实变函数论；于实际应用概率论分支，泛起了随机过程论。

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【躺着看电影|漫长而曲折的真理探索，既依赖于经验，又受限于经验】由上面的故事可知，数学巨匠的经验和直觉也存在局限性、也不可靠。对于新生事物，不能过度依赖于过往的经验。由于直觉孕育于经验，又往往冲破旧的经验的框架。而要冲破旧规范，除拥有超人的直觉能力外，还要富有科学的革命精神。