旅游那点事|一道白俄罗斯初中数学竞赛题: 分解因式, 难住不少学霸

大家好，今天和大家分享一道白俄罗斯的初中数学竞赛题：分解因式a^4-3a2+4a-3 。这道题看似简朴，却难住了不少初中的学霸，还有网友调侃到：认为只有中国才学这些东西呢，没想到大家都在学啊，还真是公平。

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因式分解是中学数学非常重要的一个知识点，在解一元二次方程、一元二次不等式、二次函数、化简求值等题型中常常都会用到。书本中因式分解的问题一般比较简单，考查的方法主要有提公因式法、公式法和十字相乘法等，其中最重要的仍是十字相乘法。
下面我们一起来看一下这道白俄罗斯的竞赛题。

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这道题是一个4次多项式的分解，下面先容3种方法。
方法一：拆项法
先观察一下这个式子的特点，可以发现假如把4a变成3a ，然后再提出-3 ，此时可以得到a2-a+1这样一个因式。再进一步观察得到的这个因式，会发现恰好是a3+1分解后的一个因式，而a^4+a提个a出来后恰好就是a3+1 ，所以前后两部门可以同时提出a2-a+1即可得到谜底。

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方法二：添项法+拆项法
方法一中用到了立方和公式，但是这个公式在初中课本中已经被删除了，那么假如不用立方和公式能不能做出来么？先来看a的指数，分别是4、2、1 ，也就是说前一项的指数是后一项的2被，那么完全可以考虑用完全平方公式进行处理。
将-3a2拆成-2a2-a2 ，然后将-2a2和a^4组合起来，再加上一个1 ，这样就恰好配成一个完全平方公式。后面剩下的几项也恰好是一个完全平方公式，然后再用平方差公式分解即可。这个方法也可以叫配方法，由于是配出了几个完全平方。

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方法三：双十字相乘法
双十字相乘法顾名思义就是用了两次十字相乘法，一般用于二次多项式的因式分解。以下面的这个题为例。
在法1中，将前面三项作为一组先用中间两项作为二组，最后的常数作为三组。先将第一组进行因式分解，再将第三组因式分解，然后交叉相乘再相加得到第二组就分解成功了。另外也可以像法2中，将这个式子进行重新分组，将不含y的项作为一组先因式分解，再将剩下的按照y的升幂的顺序进行排列后对y2进行分解，再交叉相乘并相加得到中间两项即可。当然，也可以先分解y ，有爱好的可以自己试一下。

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这道题中，可以把-3a2拆开，写成a^4-2a2-3+4a-a2 。此时前面三项可以用十字相乘法进行分解，然后再将-a2进行分解即可。把握双十字相乘法后，这道题也非常简单，而且也不需要用立方和公式。

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