算法与数学之美|从群论角度理解欧拉公式

_本文原题：从群论角度理解欧拉公式
欧拉公式是我认为最美的公式，没有之一。他将自然底数e、圆周率π、虚数单位i、自然数的起始1用等号联系在一起，仿佛解释了世上数与数的关系。
前段时间我们讲解了的内涵，今天我们来讲的含义。
如果你稍微学过数学分析或者高等数学，想必你应该知道如下公式：
当你学习这个公式的时候，你是否想过这个公式背后有哪些不可告人的秘密呢？华罗庚曾经写过这么一首诗：
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；
数无形时少直觉，形少数时难入微；
数形结合百般好，隔离分家万事休；
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
所以，公式是不可思议的咒语，我们找到他背后的“形”来解开他的秘密。
基础群论
群论是研究对称性本质的一个领域。
例如正方形是一个对称图形，什么意思呢？换句话说，你在正方形上施加哪些作用能使他和原来一样。例如：
将他旋转90°
以中轴为中心翻转
我们把每一个作用称为“正方形的对称性” ，而所有的对称性的组成是一个“对称群” ，简称为“群” 。
同样，对于一个圆形来说，它以任意角度旋转都是对圆形的对称作用，这些作用落在 0到 2π 之间，这个我们称之为“旋转群” 。这些作用的好处是，一个作用与圆上的一个点都是一一对应（也叫“映射”）的关系。
当然群论不只是研究一个对称集合是什么，群论的核心是了解对称性之间如何相互影响。例如：
在圆上，先逆时针旋转270° ，再逆时针旋转120° ，其效果等价于你直接逆时针旋转30° 。
所以在圆的旋转群中， 270°+120°=30° 。
总的来说，群中存在某种运算使得作用A“加上”作用B等价于作用C 。
加法群和乘法群
上面讲的东西都太过于陌生，我们来讲大家熟悉的东西——数。数包含了两个群：加法群和乘法群。
对于一条直线来说，对他进行左右滑动操作都能使他与原来重合，这个群也叫：直线的对称群。他像圆一样，每个作用和直线上的每个点形成映射关系。举个例子：

数字2 ，关联作用是数轴向右滑动2个单位长度。

本文插图

同理， -2 ，关联作用是数轴向左滑动2个单位长度。

本文插图

在实数中表达3+2=5 ，关联作用是数轴先向右滑动3个单位长度，再向右滑动2个单位长度，共滑动5个单位长度，这里不再作图演示。

在这个群里，每个滑动作用都和唯一的实数关联，所以这个群有个特殊的名字“实数加法群” ，如果我们将这个结果扩展到复数域会怎么样呢？显然也是适用的，如：2+2i关联作用是复平面先向右滑动2个单位，再向上滑动2个单位。这个群，我们称之为“复数加法群” 。

本文插图
大家想想对于一条直线，还有其他作用使他与原来相同么？对的，压缩扩张，这个群又叫“压扩群” 。同样，他也像“加法群”一样每个作用和直线上的每个点形成映射关系。举个例子：

假设原点不动，数字2的关联作用是数轴上的1点被扩张两倍。

本文插图

同理，假设原点不动，数字4的关联作用是数轴上的2点被扩张两倍。分页标题

当然对于数字4 ，假设原点不动，你也可以把他的关联作用看成是数轴上的1点被扩张四倍，这里不再作图展示。

在这个群里，每个压缩扩张作用都和唯一的实数关联，这个群同样有个特殊的名字“正实数乘法群” ，如果我们将这个结果扩展到复数域会怎么样呢？例如2+2i ，我们一起来尝试一下，同样，假设原点不动：

本文插图
然后，进行缩放：

本文插图
这次我们发现一个问题，无论我们怎么压扩， 1点都无法离开实轴，所以，这个群不只有压缩扩张，还存在旋转。

本文插图
我们注意到，假设原点不动， i关联的作用是将1旋转90° 。所以与 i 对应的乘法为旋转90° 。如果我进行两次旋转，即让平面旋转180°：

本文插图
我们发现复平面上的任何一个点都可以通过先旋转，再缩放的形式求得，而这个群称为“复数乘法群” 。举个例子：点2+i

本文插图
你可以这么想：我们先旋转约26.59°：

本文插图
然后再放大（根号5）倍：

本文插图
数字，不管是实数还是复数，都可以看作两个不同方式的群，他们既可以通过滑动得到，此时，群运算看上去是普通的加法运算；也可以通过旋转和缩放得到，此时，群运算看上去是普通的乘法运算。
幂运算
还记得你第一次学习幂运算时，老师怎么解释的吗？
是两个2相乘。
是三个2相乘。
是两个2乘上三个2 ，共五个2 。
不失一般性，对于正实数来讲：
但是，当数域被扩充，我们会遇到幂是-1 ， 1/2 ，甚至是i 。前两者，我们让他们满足刚刚的公式，例如：定义为，因为所以，这种定义叫做“保持群结构” ，有时我们会叫他为“良定义” 。用原有思考方式很难得到i为幂的定义，但我们这样思考：
假设，函数是映射关系，我输入x ，他输出。比如，我输入2 ，他输出4 。当我输入i的时候，他会映射到，这是一种我们没有见过的映射，根据以上启发，与i相关的运算可看成旋转。此时数学家想到，把虚轴映射成一个圆从而解决幂是虚数的问题。

本文插图
将垂直滑动映射成旋转，即将直线上的复数，也就是i的倍数，映射到单位圆上的复数。记得实数上e的定义是什么吗？对的，单位时间的增长倍数（如果这个地方不懂，请查看我前期文章：指数函数与自然对数）。为“保持群结构” ，把直线1单位增长映射到圆上1弧度增长，即：。同理，直线2单位增长映射到圆上2弧度增长，即：。直线π个增长映射到圆上π个弧度，即：，即走过半个圆，这就是数字-1：
前期解疑
Q：自然对数与指数函数的关系，写得最好的是柯朗和约翰《微积分和数学分析引论》第一卷第二章。
A：笔者也很喜欢柯朗的《微积分和数学分析引论》，我也推荐大家看柯朗的其他作品《什么是数学》《物理数学方法》等。分页标题
Q：pai是圆的周长和直径比
A：笔者手误，笔者能力有限，感谢大家指正！
Q：原来的一美元（蓝点），一美元所赚得的一美分（绿点），五十美分所赚得的25美分（红点），中第二句是不是错了，我觉得是：一美元所赚得50美分（绿点）。
A：笔者手误，感谢指正！应为：一美元所赚得的一美元（绿点），文章中所赚得的一美元是指最终赚的一美元，而非6月与12月的差。
Q：年增长率位100% ，假设第一年为1 ，第二年是2 ，第三年是4 ，第n年就是2的n次方，和e有什么关系！！！
A：请查看前期文章：指数函数与自然对数。
Q：其中有个ln（4）你写成了ln（2）
A：笔者手误，感谢指正！
Q：坐等解释exp（复数）！！
A：满足你愿望了吗？
Q：我有一个问题，大家帮我想想，现在我把一元钱存银行，四年300%的利率，但是我存满两年就算取出来，请问我能取多少钱？
A：首先，我们讲的是复利，而非单利，如果300%为复利，那么直接用我们所提供的公式代入两年进行运算即可。
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