秒解圆的切线方程圆的切线问题有两种

圆的切线问题有两种，一种为过圆上一点的切线，一种为过圆外一点的切线.

用通法推导小结论

先说“过圆上一点”的类型.

处理直线和圆的相切问题，通常利用圆心到直线的距离等于圆的半径、或切线垂直于过切点的半径建立方程求解，比较少利用联立方程法，后者运算量略大一些.

如下图所示，我们来推导切线的方程.

为保证斜率存在，我们先讨论切点不在坐标轴上的情况.

当点M在坐标轴上时，可以验证上述方程同样适用.

用结论实现秒解

这样的小结论有利于我们提高解题速度.

比如下面这道小题，你能秒解吗？

用我们刚才的小结论，可迅速得到结果为：

变式拓展，结论是否能广泛使用？

有同学会问：如果圆的圆心不在原点的话，切线也有类似的小结论吗？

好吧，我们把问题进一步拓展，研究过圆心不在原点的圆上一点的切线方程.

求解方法和上面一样，只不过解题过程更复杂一些.

当CM或切线斜率不存在时，经验证上述方程也适用.

观察这个方程的形式，我们发现非常容易记忆，相当于把圆方程中的平方式保留一半，另一半用切线的横纵坐标分别代替x和y.

我们来小试牛刀.

根据上述结论，平方式保留一半，替换一半即可.

变式拓展，一般式方程是否能用结论？

有好奇的童鞋接着问：如果所给方程为一般式呢？有没有类似的小结论呢？

研究方法和前面两道完全一样，我们直接给出结论.（有兴趣的童鞋可自行推导过程）

大家会发现，这个结论也好记忆：把圆方程改写为x和y成双成对出现的形式，然后保留其中一个，把另外一个换成切点的横坐标和纵坐标即可.

我们来秒杀下面这道题.

用上面的结论解题，首先改方程，然后代入切点坐标即可.

当然，用传统的方法解题也不麻烦.

用小公式解题的优势是：

1.速度略快；

2.更重要的是在于减少了中间计算的过程，使我们犯错的机会降低了，尤其适合解小题.

推荐阅读：两步走解决复合方程的根

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