希尔伯特的无穷旅馆牛顿的无限而又静止的宇宙引起不少佯谬

牛顿的无限而又静止的宇宙引起不少佯谬，比如之前所介绍的夜黑佯谬。

当这些宇宙是否无穷的问题令物理学家们头疼的年代，数学家们却正在欣赏“无穷”的美妙。

古代与中世纪哲学著作中记载过关于无限的思想。公元前1000年左右的印度梵文书中说：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”不久前才发现并解读的古希腊羊皮书中的记载表明，古希腊的阿基米德就已经进行了有关无穷大的计算。

康托1874年在他有关集合论的第一篇论文中提出的“无穷集合”概念，引起数学界的极大关注，震撼了学术界。康托并且导出了关于数的本质的新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，因此，希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。”

为了更好地解释无限集合与有限集合的区别，希尔伯特在他1924年1月的一次演讲中，举了一个有趣的具有无穷多个房间的“希尔伯特旅馆”的例子，下面是根据希尔伯特的说法编出来的故事。

鲍勃是芝加哥大学的学生，圣诞节快到了，他从芝加哥开车回家到波士顿。原来计划一天开到的，傍晚8点左右，鲍勃感觉太累了，还得开4小时左右才能到达呢。于是，鲍勃来到纽约州一个小镇，决定找个旅馆住一晚再说。不过不知道为什么，今天这个小镇上好像特别热闹，镇上大大小小的旅馆都给住满了。鲍勃正要发动汽车上高速公路去下一个地点找住处，却被一条醒目的广告吸引住了：

“已经客满，但永远接受新客人，因为我们是希尔伯特无限旅馆！”

鲍勃看不懂这句话是什么意思，但既然这个旅馆还可以接受新客人，就去试试吧。

旅馆经理很高兴地为鲍勃办理了入住手续，将他安排在1号房间。鲍勃很好奇地问经理：

“不是客满了吗？为什么1号又是空的呢？”

于是，经理兴致勃勃地向鲍勃解释他的这个“希尔伯特无限旅馆”。

希尔伯特旅馆与别的旅馆不同的地方是：它的房间数目是无限多。其他的旅馆如果客满了，那就再也不能接受新客人了。可房间数目无限多的旅馆不一样，“客满”不等于“不能接受新客人”！

鲍勃瞪大眼睛，似懂非懂。

经理采取的办法是，将原来1号房间的客人移到2号房间，2号房间的客人移到3号房间，3号房间的客人移到4号房间，让他们一直移下去……就像图5-1a所表示的那样。

图5-2：托里拆利小号

托里拆利小号悖论：托里拆利小号如图5-2所示的形状。它是由y=1/x的曲线绕y轴旋转而成的。用微积分很容易计算它的总体积和总表面积。总体积收敛到一个有限数：π，但总表面积却发散，趋向无穷大。

某小号手请了一位油漆工来油漆他的托里拆利小号的内表面。有趣的是两人都喜欢数学，都对数学有一定的研究和造诣。油漆工很狡猾，要价颇高，理由是这种小号的表面积是无穷大，理论上需要消耗无穷多的油漆才能漆好它。小号手则辩解道：怎么可能需要无穷多的油漆呢？你看，整个小号的体积是有限的，小号像一个杯子一样，用等于小号体积那么多的油漆将小号装满，就能将所有内表面都油漆到了。所以，最多也就只是用体积这么多的油漆就足够了。

读者您认为小号手和油漆工谁更有道理呢？

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