一个蒙特卡罗实验告诉你：司机越浪，公路越堵！你说的很有道理

本文来自公众号：超级数学建模

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超模君今天讲的故事，还是跟京西大旅馆的掌柜刘强西和实习生小天有关。

这不，周末又到了，为了奖励小天上周的突出表现，刘强西又带着小天打算到附近的清扬山放松一下（真不明白是不是刘强西对小天有什么想法）。

从京西大旅馆出发到清扬山还是只有那两条路，一条是金龙大道，另一条是银龙大道。

这次刘强西怕被堵在路上，在出发前特意看了路况，导航显示两条路都非常顺畅，不过这次刘强西选择走银龙大道，看看不一样的风景。

可能是为了让刘强西和小天能有更多共处的机会，没想到车子才走了一小段路，就发现……堵车了……

刘强西开始吐槽：这X德导航真不靠谱，竟然就堵车了。。。

小天脱口而出：会不会是前面出了事故呀？

刘强西也很无奈：点真背，估计也应该是发生事故了。

无奈的刘强西和小天只能坐在车子里一路往前蠕动……

过了15分钟，堵在前面的车慢慢快了起来，最后，拥堵自动消失了，行车速度慢慢恢复到正常水平，沿途也没有发现特别的事情。

小天懵了：奇了怪了，这里没有发生什么事故啊。

此时，刘强西眼角射出一阵光芒：可能因为有个司机突然间刹车了。

小天好奇：怎么可能，就因为有人刹车就堵车，那北京不得堵成狗吗？

刘强西：我猜呀，这条路估计没有发生什么的情况，之所以堵车，估计有一些车辆速度慢了。

小天一脸疑惑：看起来不可能啊，发生这样大面积的拥堵，一两台车并不可能造成如此大的影响。

刘强西很淡定地说：叫你平时多读数学书，又不好好读！在路上司机们都有可能随机刹车，不同司机产生的刹车叠加起来就会造成自然拥堵。N-S模型有一个重要结论，单单就是由于这种随机刹车，就能产生拥堵。

N-S模型，是20世纪90年代由德国物理学家奈格尔（KaiNagel）和施莱肯伯格（Michael Schreckenbrg）发展出来的，是一个首尾相接的一维元胞自动机，用于高速路段的模拟。

怎么理解“首尾相接”这个词呢？

有点像我们小时候玩的小霸王里面的青蛙过河游戏，车子在屏幕上从左到右穿过，到了屏幕的边缘这个车子消失了，但是在屏幕的右边又出来了，也就是指，右边的边缘跟左边的边缘是相通的。

我们可以想象，一条公路离散成一条格子。假如这个格子是黑色的，就表示有一辆车在上面，假如这个格子是白色的，就表示没有车在上面走。这里我们可以先把所有车辆都看成毫无区别的车辆，方便我们抽象出核心概念进行研究。

N-S模型里面，每辆车的都有四个规则，分别是前进、加速、减速和随机刹车。

前进，是指若第 i 辆车的位置是
，它正以
速度前进。那么它在下一个时刻到达
的空格：

加速，是指若第 i 辆车的速度
未达到最大速度（特别指出，N-S模型的原始研究中最大速度设为5），则它的速度增加1：

减速，是指若
超过其前方的空格数
，则
降低至
，以避免与前车碰撞：

随机刹车，是指若第 i 辆车在运动，车速以概率 p 降低1，来模拟司机的过度反应且增加安全性：

另外，车子在初始状态下按照车辆密度 ρ 随机在道路上生成车辆，比如如果整条高速路长1000m，每个格子长2m，密度ρ=0.15，那么整条高速路一共有500个格子，一共有500*0.15=75辆车在路上走。

在不同刹车概率 p下面，情况是不一样的，我们可以作几张不同刹车概率p下面的情况展示图。可以想象一下这张展示图中，横轴表示车道，顺序是从左到右，模拟道路是500个格子长，车辆密度ρ=0.15；纵轴表示时间，顺序是从上往下，模拟时间是500步。我们可以作4张这样的图，p分别为0，0.08，0.16，0.24。

其实我们自己想一下，当 p=0 的时候，由于司机都不会刹车，车子仅仅会前进、加速和减速，在稳定状态下车子都会一直往前走，所以不会产生拥堵。

但随着刹车概率p的增加，司机们刹车概率增加，刹车事件就会越来越多，一旦刹车而引起减速，更多的车挤在一起，挤在一起的车发生刹车的概率越高，产生拥堵的时间也就越长。

N-S的模型归结起来，有一个重要的结论，那就是减少随机刹车，在一定程度上能够减少拥堵，使得车辆能够以更高的效率通行，我们路上需要更多的好司机。

为了能够模拟实际交通中的各种现象，人们在N-S模型的基础上提出了改进的方法，比如考虑多条车道、考虑车子可以换道和超车、考虑模拟实际的驾驶速度等等。N-S模型对后来交通模拟模型的发展有很大的促进作用。

实际上，NS模型已经应用于美国城市智能交通项目TRANSIMS，以及北莱茵-威斯特法伦地区的交通系统当中。

后来，Nagel在美国洛斯·阿拉莫斯国家试验室（Los Alamos NationalLaboratory）继续改进N-S模型，逐渐发展成著名的城市交通微观模拟系统TRANSIMS，该系统的基本特点是并行运算，包括速度模块、车道变换模块、有信号灯交叉路口模块、无信号灯交叉路口模块、停车场位置模块等几个模块。它能够以高时空分辨率的方式模拟研究区中居民的出行行为，进而分析交通运输系统的性能。

小天恍然大悟般地点点头：刘boss，你说的很有道理，但我还是不懂。。。