微信朋友圈昵称为"feel100"的朋友问了一道函数题如下.

1

二次函数在闭区间上的最值

第（1）问分析：研究二次函数在闭区间上的值域问题，需讨论对称轴与定义域的关系.

本问可分三种情况讨论：对称轴在定义域右侧，对称轴在定义域内且离右端点近，对称轴在定义域内且离左端点近.

1.对称轴在定义域右侧，如下图所示.

函数在[-2,a]上为递减函数，根据单调性可求出值域.

2.对称轴在定义域内，且离右端点比较近，如下图所示.

函数在[-2,-1]上单调递减，在[-1,a]上单调递增，但-1离a比较近一些，最大值在-2处取得.

3.对称轴在定义域内，且离左端点比较近，如下图所示.

函数在[-2,-1]上单调递减，在[-1,a]上单调递增，但-1离-2比较近一些，最大值在a处取得.

2

以退为进：从初始位置t=0开始研究

第（2）问分析：题中变量较多，有存在问题，也有恒成立问题，用代数法解题会比较繁杂.我们尝试用数形结合的方法，看看能否简化运算.

我们把f(x+t)的图象看成由f(x)的图象平移得到.

首先我们研究初始位置（t=0），即平移之前是什么样的状态？

如上图所示，设曲线y=x^2+2x与直线y=3x交于点P，则P的坐标为（1，3）.

题目要求在[1,m]上蓝色曲线在红色直线的下方.显然，初始状态是不符合题意的，必须平移.

从上图也能看出，如果f(x)图象向左平移，即t>0时，也是不符合题意的.

3

平移变换：在运动中找临界位置

下面我们来研究f(x)向右平移的情况.

如上图所示，我们把函数f（x）的图象向右平移|t1|个单位（t1<0），得到函数f(x+t1)的图象.(图中虚线表示的抛物线)

我们把函数继续往右平移，如下图所示.

继续向右平移，到达临界位置，如下图所示.

为什么说f(x+t3)这个位置是临界位置？

4

形在数先，以数辅形

下面求m的范围.

解题感悟：华罗庚先生说神马来着？

遇到复杂问题，学会退，退到初始状态.

数缺形时少知觉，形少数时难入微，形数结合百般好，割裂分家万事休.

推荐阅读：含两个绝对值的线性目标函数

上一篇:数形结合妙解函数综合题

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