读者群中有高人关注我公众号的朋友中有很多是数学教师

关注我公众号的朋友中有很多是数学教师同行和前辈，经常给我建议和灵感.

第一位朋友的微信昵称是“高山流水”，想必是取“高山流水有知音”之意.

他的近期留言是这样的：

左老师，国庆节快乐！刚看到您今天推出的文章，幽默又有内容.不过，在对勾函数那块我觉得有个说法不太妥当：您说顶点坐标为~，而对勾函数的图象是一条双曲线，其顶点是其对称轴与曲线的交点，不是曲线在第一象限的最低点及第三象限的最高点.

我查看了原文知道含树为什么那么难吗？，他指的是这个图.

在上图的紫红色区域中，标出了顶点坐标.

的确，高老师（高山流水）指出的内容是对的.

对勾函数的图象就是双曲线,只不过你需要倾斜一定角度来看才比较清楚，如下图所示.

上图中的黄线就是双曲线的两条对称轴，而双曲线的顶点是两条黄线与对勾函数图象的交点.

显然，这两个顶点与函数图象在一象限的最低点、三象限的最高点并不重合，所以不能用“顶点”这个词.

第二为朋友微信昵称为“刘勇”，可能是真名哈.

我在文章内心的向量表示里提出，欢迎大家对文中的公式进行推导.

今天我就收到了他的分析与解答，而且他还捎带着推出了内心满足的另外一个向量等式，把图贴在下面和大家分享.

第三位朋友微信昵称为“米尔哈依”，在我的文章内心的向量表示发表之后，他提供了更为简洁的解法.

他的观点是：既然是选择题，就可用“赋值”成具体三角形的方法解答.

他的解法很棒，刊登如下.

是不是比我原文的解法轻松很多？这个解法也是“特值法”在选择题中灵活使用的范例.

我经常感叹，互联网尤其是无线互联网真是神奇.我和诸位教师朋友素不相识，但是却能远隔千里对同一个感兴趣的问题进行分析、探讨、切磋、分享.

谢谢你们！

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