两千多年了，数学家为何仍痴迷于质数研究？ 2300多年以来

撰文 | Martin H. Weissman

翻译 | 佐佑

来源 | 原理（ID：principle1687）

3月20日，数学界的最高荣誉之一——阿贝尔奖颁发给了数学家罗伯特·朗兰兹，以表彰他对数学作出的终生成就。朗兰兹提出的纲领探讨了数论和调和分析之间的深层联系，这种联系被数学家用来解答与质数性质相关的问题。

2300多年以来，数学家一直都在试图更好的理解质数。可以说，相关的研究构成了数学史上最大最古老的数据集。我们不免好奇，质数如何能让数学家为之着迷上千年？

如何寻找质数？

为了研究质数，数学家将整数一个个通过他们的虚拟网格，将质数“筛选”出来。这种筛分过程在19世纪就产生了含有数百万个质数的表格。现代计算机可以用这种方法在不到一秒的时间内找到数十亿个质数。但筛分的核心思想却在2000多年间从没改变过。

数学家欧几里德（Euclid）在公元前300年写道：“只能为一个单位量测尽的数是质数。” 这意味着质数不能被除了1之外的任何数字整除。根据惯例，数学家不将1计为质数。

欧几里德证明了质数的无限性，但历史表明是埃拉托色尼（Eratosthenes）为我们提供了快速列出质数的筛分方法。

筛分的想法是这样的：首先依次过滤出2、3、5、7这四个质数的倍数。如果对2到100之间的所有数字执行这一操作，很快就会只剩下质数。

○ 在1到100之间筛分2、3、5、7的倍数，结果只会余下质数。| 图片来源：M.H. Weissman

通过8个过滤步骤，就可以分离出400以内的全部质数。通过168个过滤步骤，可以分离出100万以内的所有质数。这就是

埃拉托色尼筛法

的力量。

表格×表格

为质数制表的早期人物代表是 John Pell，一位致力于创建有用数字的表格的英国数学家。他的动力来源于想要解决古老的

丢番图算术问题

，同时也有着整理数学真理的个人追求。在他的努力之下，10万以内的质数得以在18世纪早期广泛传播。到了1800年，各种独立项目已列出了100万以内的质数。

为了自动化冗长乏味的筛分步骤，德国数学家 Carl Friedrich Hindenburg 用可调节的滑动条在整页表格上一次排除所有倍数。另一种技术含量低但非常有效的方法是用漏字板来查找倍数的位置。到了19世纪中叶，数学家 Jakob Kulik 开始了一项雄心勃勃的计划，他要找出1亿以内的所有质数。

○ Kulik 用来筛分3、7倍数的漏字板。| 图片来源：A?AW, Nachlass Kulik ／Denis Roegel

若没有高斯等人对质数的研究，这个19世纪的“大数据”或许只能作为一张参考表。在有了这张包含300万以内所有质数的列表之后，高斯开始着手数它们，每次以1000为分界点分组。他找出1000以内的质数，然后再找出1000到2000之间的质数，然后是2000到3000之间，以此类推。

高斯发现，随着数值的增高，质数出现的频率会遵循“

反对数

”定律逐渐下降。虽然高斯定律没确切地给出质数的数量，但它给出了一个非常好的估计。例如他预测了从1,000,000至1,001,000之间大约有72个质数；而正确的计数是75个，误差值约为4％。

在高斯的第一次探索之后的一个世纪里，他的定律在“

质数定理

”中得到了证明。在数值越大的质数范围内，它的误差百分比接近于零。作为世界七大数学难题之一的

黎曼假设

，也描述了高斯估算的准确程度。

质数定理和黎曼假设都得到了应有的关注和资金，但这两者都是在早期不那么迷人的数据分析中得到的。

现代质数之谜

现在，我们的数据集来自计算机程序而非手工切割的漏字模板，但数学家仍在努力寻找质数中的新模式。

除了2和5之外，所有质数都以数字1、3、7、9结尾。在19世纪，数学家证明了这些可能的结尾数字有着同样的出现频率。换句话说，如果数100万以内的质数，会发现大约25%的质数以1结尾，25%以3结尾，25%以7结尾，以及25%以9结尾。

○ 质数的结尾数字。除了2和5之外，所有质数都以1、3、7、9结尾。| 图片来源：theConversation

几年前，斯坦福大学的数论学家 Robert Lemke Oliver 和 Kannan Soundararajan 在一个观察质数和下一个质数的最后一位数字的实验中，发现了质数的结尾数的奇异之处。例如质数23之后的下一个质数是29，它们的结尾数字分别是3和9。那么是否在质数的结尾数中，3和9的出现要多过于3和7吗？

○ 在1亿以内的连续质数的结尾数字对的出现频率，相同的颜色对应于相同的间隔。| 图片来源：M.H. Weissman

数论学家预计会有一些变化，但他们的发现远远超出预期。质数与质数之间被不同大小的间隔分开；例如，23与29之间相差6。但是像23和29那样的先以3再以9结尾的质数比先以7再以3结尾的质数要普遍得多，尽管这两种质数组合的间隔都是6。

虽然数学家很快找到了合理的解释。但是，在研究连续质数时，数学家大多能做的仅限于数据分析和尽力说服。而数学家用以解释某事物为何为真的黄金标准——证明，似乎仍距我们数十年之远。

原文首发于 http://theconversation.com/why-prime-numbers-still-fascinate-mathematicians-2-300-years-later-92484?xid=PS_smithsonian，略有增删。中文内容仅供参考，一切内容以英文原版为准。

本文转载自公众号“原理”（ID：principle1687）