赋值、二次求导、分类讨论、主元集中...... 含有两个参数的代数式

微信昵称为“小马哥”的朋友问到一道最值问题的解法，题目如下.

含有导数值的函数解析式：赋值处理

先研究函数的解析式.

给出的解析式中含有f"(1),f(0)，可看作常数，处理的一般方法是

求导、赋值

等.

单调性探求：二次求导的使用场景

下面研究函数的单调性.

在上面的解题过程中用到了

二次求导的方法，主要用于导函数的零点个数无法确定的情况.

本题中，通过观察法能确定导函数的一个零点，但是我们不确定是否还有其它的零点.

通过二次求导确定导函数本身是单调递增的，所以导函数的零点只有一个.

两个参数的恒成立问题：逐个击破

接着说第二问，第二问是在恒成立的条件下研究某式子的最值.

先研究通过恒成立条件能得出什么结论.

如何说明不恒成立：举反例

为研究g(x)的最小值，就需要研究g(x)的单调性；为研究g(x)的单调性，就需要研究g"(x)的零点；为研究g"(x)的零点，就要对(a+1)进行分类讨论.

要说明“不恒成立”的最好办法就是举反例，举那些不能成立的x的取值或者范围.

举反例也是要有技巧的，上面的解法中

对x取值范围的限制，就是为了制造出常数b，以利于出现矛盾.

等号问题：单独讨论，宁慢不错

对于“等号”的情况，我们建议单独讨论

比如本题，虽然在a+1>0与a+1=0的情况下，g(x)都是单调递增的，可是b值的范围却相差甚远.

即使在有些情况下，“等号”能够和其它情况的结果能够合并，我们单独讨论之后，再合并也不迟.

宁可麻烦一点，宁可慢一些，稳妥一些好.

不厌其烦地讨论：理科生必备素质

由此我们得到不等式

双变量策略：集中变量，化二为一

下面研究(a+1)b的最大值.

两个变量a,b之间互相关联，不管二者之间是等量关系还是不等关系，

求(a+1)b的最值都要朝一个变量去变形，构造出关于其中一个变量的函数，然后求函数的最值.

这也是函数主元思想的体现.

有童鞋提问，为什么不朝a变形呢？其实也可以，只不过形式稍显复杂一些.

研究最值：必须指明取最值条件

下面研究新函数h(t)的最大值.

求最值一定要指明取最值的条件

，不管题中是否要求你指出，因为这个问题关乎到最值能否取到的问题.

我们看到，本题取最值需要两个等号同时取到.

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