从函数方程看周期性函数方程不同于函数与方程

微信昵称为“平淡是真”的朋友提出下面这个问题.

函数方程的意义

分析：解题的过程就是翻译条件、解读所求，最终使条件和所求能够顺利相遇的过程.

我们把由未知函数构成的等式叫函数方程，这里的“函数”是定语，修饰后面的“方程”，以区别于过去学到的一般方程（含有未知数的等式）.

函数方程通常是有意义的，即函数方程能反应函数具有某些性质.

比如f(1+x)=f(1-x)反应函数f(x)的图象关于直线x=1对称，这样的结论在“

老话新谈----轴对称图形和轴对称

”中谈到过.

那么本题的函数方程又反应函数f(x)的什么性质呢？

我们先把等式右边的负号去掉.你能看出函数具有什么性质吗？

我们可以这样解读：若两个自变量相差[(x+5/4)-(x-5/4)]=5/2，则它们对应的函数值保持不变.

不错，函数具有周期性.

周期性解读

让我们一起回顾周期性的高大上定义吧.

周期性的通俗理解就是：

自变量每间隔相同的距离，函数值重复出现，或者说每间隔相同的距离，函数的图象重复出现.

现在我们把负号加上，对函数的性质有什么影响呢？

加个负号，周期加倍

为了得出通用的规律和结论，我们研究下面这个一般化的问题.

我们作一个推导.

从上面的推导过程中可知：

加上负号，周期加倍.

周期性和零点

回到这位朋友提出的这个题目上来.

区间[0,2015]包含2015/5=403个周期，只需研究函数在一个周期上的零点个数，然后乘以403即可.

而区间[-1,4]刚好包括一个周期，所以首先研究函数在[-1,4]上的零点个数.

两函数在[-1,4]的图象如下.

用图象法解决交点或者零点问题，要求画图相对准确.本题中指数函数比幂函数增长速度要快.

显然，这两个函数的图象在x<0时，有一个交点A，而在x>0时，仔细看，有两个交点B（2,4），C（4,16），因此在[-1,4]上有三个交点.

既然在一个周期上有3个零点，在[0,2015]上有403个周期，故零点个数总共有3*403=1209个.

小结：函数周期性的另类表达法

1.f(x+a)=f(x-a)和f(x+2a)=f(x)（a不为0）表达的意思一样，都反应函数f(x)具有周期性，且周期为2a；

2.若加负号，周期加倍.即若总有f(x+2a)=-f(x)（a不为0），则函数f(x)具有周期性，且周期为4a.