克莱因瓶和莫比乌斯环关于两个数学图形的介绍"

在数学上，克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。如果观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。

其实

克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。用扭结来打比方。如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。

有人说搜了也不懂，我就试着提炼一下（个人感觉扭结这个比方很形象）：

扭结：

是存在于三维世界中的几何结构，它的闭合、连续、不与自身相交重合的。

如果要在二维世界中把它表现出来给你看，你会看到这样：

在二维平面中它不得不成了不连续的断裂状态，或者是与自身重合。

（事实上上面两张图亦如是，只是因为它们的3D效果，姑且当是我们从图中看到了一个真正意义上的扭结。）

所以克莱因瓶同理。

在三维世界中，将它表现出来是这样：瓶颈穿过了自身与瓶底相接。

但是在一个真正意义上的，在四维世界中的克莱因瓶不是这样的，它的瓶颈是通过第四维和瓶底相接的，并不需要穿过自身。

所以，真正意义上的、完全符合其几何定义的克莱因瓶不能在三维世界中制造出来，但是这些制造出来的，它能表现出克莱因瓶的重要（而非全部）几何特征，以供人理解。这个再次类比回去就是，在纸上画出来的一个扭结，并不完全符合扭结这个几何结构的全部定义，但是它表现出了部分特征，所以我们看到它的图像，自然会懂这是一个扭结。

那么莫比乌斯环又是什么呢？拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，如同上页图那样粘成一个莫比乌斯带。现在像图中那样用剪刀沿纸带的中央把它剪开。你就会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而像图中那样剪出一个两倍长的纸圈！

有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起！为了直观地看到这一不太容易想象出来的事实，我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。比如在普通空间无法实现的“手套易位问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若自你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。

莫比乌斯带是一种拓扑图形,什么是拓扑呢？拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8,"莫比乌斯带”正好满足了上述要求。

至于克莱因瓶和莫比乌斯环有什么联系，我们可以这样去想：正如莫比乌斯环只有一面一样，克莱因瓶也只有一面；而更加厉害的是，克莱因瓶是密闭的曲面（它围出了一个体积），而莫比乌斯环不是。同时它们还有另一个联系：如果你将两个莫比乌斯环接在一起，你便能得到一个克莱因瓶，如下：