高分必看 | 数列的概念和几种简单的表示方法
1、数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，记作
，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的项叫第2项，……，序号为
的项叫第
项（也叫通项），记作
；数列的一般形式：
，
，
，……，
，……，简记作
。
2、通项公式的定义
如果数列
的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
3、数列的函数特征与图象表示
序号：1 2 3 4 5 6
项 ：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集
（或它的有限子集）的函数
，当自变量
从1开始依次取值时，对应的一系列函数值为
……，
，……．通常用
来代替
，其图象是一群孤立的点。
4、数列的分类
①按数列中项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；
②按数列中项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
5、递推公式的定义
如果已知数列
的第1项（或前几项），且任一项
与它的前一项
（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
例1、根据数列的前4项，写出它的通项公式：
（1）1，3，5，7……；
（2）
，
，
，
……；
（3）
，
，
，
……。
分析：观察项与项数之间的关系，如果是分式可将分子、分母分开来观察。每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系。
解答：（1）
=2
； （2）
=
； （3）
=
。
例2、数列
中，已知
，
（1）写出
，
，
；
（2）
是否是数列中的项？若是，是第几项？
分析：该题考查数列通项的定义，要会判断数列中项的归属。第一问将10，n+1，
替换条件中的n，第二问首先假设“是”，再求n。
解答：（1）∵
，∴
，
，
；
（2）令
，解方程得
，
∵
，∴
，即
为该数列中的第15项。
例3、如图,一粒子在区域
上运动,在第一秒内它从原点运动到点
,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。
（1）设粒子从原点到达点
时，所经过的时间分别为
，试写出
的通项公式；
（2）求粒子从原点运动到点
时所需的时间；
（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。
分析：本题的关键是注意到要分奇数项和偶数项两类进行讨论。对于（2），（3）两问要以Cn为研究对象，可避免分类讨论。从起始项入手，逐步展开解题思维。由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题的一般方法。
解答：(1)由图形可设
，当粒子从原点到达
时，明显有
……
∴
＝
,
。
,
。
,
,
即
。
（2）由图形知，粒子从原点运动到点
时所需的时间是到达点
所经过的时间
再加（44－16）＝28秒，所以
秒。
（3）由
2004，解得
，取最大得n=44，
经计算，得
＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点
，再向左运动24秒所到达的点的坐标为（20，44）。
例4、（1）已知数列
适合：
，
，写出前五项并写出其通项公式；
（2）用上面的数列
，通过等式
构造新数列
，写出
，并写出
的前5项。
分析：递推公式的特点就是根据前项能写出后项，所以根据条件依次写出即可。会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项。
解答：（1）
，
，
，
，
，……，
；
（2）
，
，
，
，
，
．
例5、设平面内有
条直线
，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用
表示这
条直线交点的个数，则
=____________；当
时，
（用
表示）。
分析：本题可在求出
的基础上，观察每增加一条直线，增加几个交点。解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。
解答：由下图，可得
，由
，
，
，
，…可推得
∵n每增加1，则交点增加
个，
∴
。
例6、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内。
分析：观察收缩压和舒张压随年龄增长而呈现出的变化规律。本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算，而需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。
解答：从表中所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，……照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140；85.
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