撰文 / 张旭颖 靳铭宇（北方工业大学建筑与艺术学院）
我们平时见到的瓷砖大多数是采用形状规则的图形铺装成有规律的样式 ， 但还有一些瓷砖无论铺得面积有多大 ， 都找不到其重复出现的规律 ， 反而会让人忽略其连接处 ， 给人一种整体的感受 。 但是大家想过这些瓷砖为何会给人以这样的视觉感吗?瓷砖里又蕴藏着怎样的数学原理?答案就藏在建筑装饰届大名鼎鼎的彭罗斯镶嵌里 。

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周期性密铺与非周期性密铺
重复排列某一单元形 ， 使其能够不留任何缝隙且完全无重叠的填满自身所在的整个空间 ， 叫做图形的密铺 。 显然 ， 正方形、正三角形和正六边形是可以的 。 首先 ， 正方形、正三角形、正六边形的边长具有等长性 。 除此以外 ， 正方形四个内角均为90度；正三角形三个内角均为60度 ， 正六边形六个内角均为120度 。 它们的内角都是360度的约数 。 但通过正五边形在进行平铺时 ， 不能做到无缝拼接 ， 因为正五边形的每个角的度数为108度 ， 如果3个正五边形进行拼接 ， 那这3个正五边形的角度之和为324度 ， 而4个正五边形进行拼接的话 ， 度数之和就变成为432度 ， 均不等于360度 ， 因此 ， 只用单纯的正五边形无法进行平面的无缝的周期性密铺 。
但如果我们用另一种形状来补全正五边形拼接图案缺口的话 ， 就可以得到密铺的平面 。 实际上 ， 若采用多种形状的瓷砖互相组合 ， 无穷尽的密铺图案就会随之出现 。 值得注意的是 ， 这种方法得出的图案与正方形密铺的图案有所不同 ， 正方形所组成的图案具有平移对称性 ， 例如若将正方形密铺平移一个正方形的长度 ， 则可以得到相同的图案 ， 它存在正方形这个可自我重复的单元形 ， 即它是周期性的；而采用多种形状互相组合的图案则可能是非周期性的 ， 如果将图案分割无穷次 ， 它们就可以被看做是铺展在无穷平面上 ， 由此便能算出两种贴砖数量的整体比例 ， 对于这种计算 ， 重复图案的比例一定是有理数 ， 如果不是 ， 就说明图案永远不会完全重复 。

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正多边形的密铺
彭罗斯镶嵌不重复的奥秘
1973年 ， 英国数学家和物理学家罗杰·彭罗斯提出了一种具有五次旋转对称的拼图 。 正五边形可以分割为六个小的正五边形和五个三角形 ， 而对小五边形进行再分割后 ， 就产生了一个五角星形和一个类似帆船的形状 。 这4种形状以不规则、非周期的方式延展 ， 只利用这4个形状 ， 就能对平面进行密铺 ， 而不存在一个可重复的单元形 。 这就是非周期性的镶嵌图案 。 随即 ， 这种密铺图案被命名为P1型彭罗斯镶嵌 。

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P1型彭罗斯镶嵌
第二年 ， 彭罗斯又对这些形状进行修改 ， 他将一个菱形分割成两部分 ， 他运用这分离的两部分 ， 创造出了一种新型的拼接方式 。 这两种图案分别形象地被称为“风筝”和“飞镖” 。 这便是P2型彭罗斯镶嵌 。
但无论是风筝形还是飞镖形 ， 这些角的度数 ， 都是36度的整数倍 ， 而这几种度数通过不同的组合方法 ， 都可以组成360度 ， 此外 ， 菱形的四条边具有等长性 ， 且分割出的飞镖和风筝的边都有互相对应的等长的边 。 边缘可以完全对应 ， 角度也可以完全对应 ， 因此 ， 飞镖形和风筝形可以进行平面的无缝拼接 。
而彭罗斯创造出的第三种非周期平面图形密铺方案（P3型彭罗斯镶嵌）是由一个36度、72度菱形和一个72度、108度菱形构成的 。 这三种镶嵌方式本质上都是五重旋转 ， 只是表现形式不同 。

稿源：(知识就是力量杂志)

【】网址：http://www.shadafang.com/c/hn1105c5C52020.html

标题：彭罗斯|永不“重复”的镶嵌图案