什么是克莱因瓶，克莱因瓶为什么装不满？克莱因瓶在数学领域中

克莱因瓶

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在数学领域中，克莱因瓶是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。在拓扑学中，克莱因瓶是一个不可定向的拓扑空间。克莱因瓶最初由德国几何学大家菲立克斯·克莱因提出的。

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在1882年，著名数学家菲立克斯·克莱因发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子” 。这是一个像球面那样封闭的(也就是说没有边)曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就像是一个瓶子。

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但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面(即环面) 。

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克莱因瓶的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边” ，它的表面不会终结。它和球面不同，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面，即它没有内外之分。

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克莱因瓶是一个不可定向的二维紧流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧流形。如果观察克莱因瓶，有一点似乎令人困惑--克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。

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克莱因瓶是一个3°的莫比乌斯带
把一条纸带的一段扭180° ，再和另一端粘起来就得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有莫比乌斯带、一个面的曲面，但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是，它有边(注意，它只有一条边) 。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，你就得到了一个克莱因瓶(当然不要忘了，我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破一点) 。同样地，如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到两条莫比乌斯带。除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有一种不太为人所知的“8字形”克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面--克莱因瓶。

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【什么是克莱因瓶，克莱因瓶为什么装不满？】我们知道，在平面上画一个圆，再在圆内放一样东西，假如在二度空间中将它拿出来，就不得不越过圆周。但在三度空间中，很容易不越过圆周就将其拿出来，放到圆外。将物体的轨迹连同原来的圆投影到二度空间中，就是一个“二维克莱因瓶” ，即莫比乌斯带(这里的莫比乌斯带是指拓扑意义上的莫比乌斯带) 。再设想一下，在我们的3°空间中，不可能在不打破蛋壳的前提下从鸡蛋中取出蛋黄，但在四度空间里却可以。将蛋黄的轨迹连同蛋壳投影在三度空间中，必然可以看到一个克莱因瓶。

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克莱因瓶的爱情意义
如果某人在一个巨大的莫比乌斯环上行走，他将会沿着这条“路”一直走下去。有人认为，莫比乌斯环就是我们平时所见的“∞”标志，代表着无限，即克莱因瓶也代表着无限。但也有研究认为“∞”标志出现的时间比莫比乌斯环要早。第一次看到莫比乌斯环，就让小编联想起，美剧「复仇Revenge」里女主手腕上的纹身：两个叠加的无限符号。在手腕上的大动脉上纹一个无限的爱来向妹子示爱，那真是浪漫至极的举动啊。

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克莱因瓶被视为莫比乌斯环的延伸，瓶子底部有一个洞，瓶颈与洞口相接延长，最终重新与洞口相连。和我们平时用来装水的杯子瓶子不一样，瓶子的里面也是它的外面，没有里外之分，它的表面不会终结。根据克莱因瓶的灵感启发， “McBrideCharlesRyan”建筑师事务所设计师设计出这样一栋别墅，它看起来就好像是根本分不清楚哪里是内部，哪里是外部。给心爱的人买栋别墅，不是人人都能做得到，但是你可以买下面这个。