克莱因瓶|我们能造出莫比乌斯环，却无法造出克莱因瓶，这是为什么？( 二 ) 克莱因瓶

莫比乌斯环的制作比较简单，所以这些年来常常出现在大众视野当中。但是细分之下它还能分为两种不同的类型，这是由大家扭转纸带的方向决定的，向左扭动则得到左旋莫比乌斯环，向右则得到右旋的，不知道商家在制作戒指时会不会注意到这一特点，可以以此来区分男戒和女戒，毕竟刚好与男左女右对应了。
很多人会觉得不就是简单的扭动了一下，说白了它还是个纸条而已，那么我们不如来看看莫比乌斯环和普通环圈之间的区别。首先，我们先使用裁剪的方式，看看它们会有什么不同。将普通纸环沿着中线剪开，那么你就会得到一个与原来纸环周长相等但是宽度更窄的环。但是如果是将莫比乌斯环沿着线剪开，你得到的纸环周长是原来纸环的一倍，大家有兴趣可以剪来试试看。

如果在莫比乌斯圈上划上两条等距离线再进行剪裁，那么你不仅能得到一个比原圈周长长一倍、比原圈宽度窄三分之二的普通环圈，同时还能在其中心部位再得到一个单独的、比原圈宽度窄三分之二，且周长与原圈等长的“窄”莫比乌斯圈。

可能会有人疑惑这种剪纸实验确实能证明它与普通的环圈不同，可是除此之外还有什么用呢？通过上述的裁剪结果可以看出，我们在三维世界当中对它剪裁，竟然是无法将它还原的，而是会剪出新的样子，这一部分呈现出的是“非三维”的状态，我们通过外力也无法将其改变。因此可以得出莫比乌斯环实际上是一种非三维的物体，我们能够将它制作出来完全是因为在这之上套上了两个三维坐标系。
克莱因瓶其实是双重莫比乌斯环？充分了解了莫比乌斯环之后，我们就可以来看看它的升级版“克莱因瓶”了。为什么这么说呢，因为数学家已经证明了这两种模型之间是有联系的，在我国数学专家谈祥柏先生的著作《数学广角镜》当中就明确指出其实克莱因瓶是由两个莫比乌斯环组合而成的。
克莱因瓶是数学家菲利克斯·克莱因在1882年时发现的，对比上文莫比乌斯环的诞生时间，克莱因瓶要更年轻一些。这个瓶子同样也没有边界，整个表面都是封闭的曲面。大家可能不好想象封闭曲面，其实球体上的曲面就是封闭曲面，假如有人问你地球有边界吗？你一定会很纠结，感觉上是有的，但是以球面来说是没有的。这类无定向性的平面，并没有内部和外部的区别。
这个瓶子看起来没有瓶底，瓶颈则被拉长了，看起来是穿过了瓶壁与瓶底连接在了一起，但是如果在电脑建模当中它是没有穿过的。假如我们将莫比乌斯环上的蚂蚁放在克莱因瓶上，那么它能够穿过瓶颈，由瓶子的外部爬到瓶子的里面。不过我们都知道克莱因瓶不分里外，这种比喻只是便于大家理解。
克莱因瓶无法被制造的原因目前市面上一些商家出售的克莱因瓶，都能明显地看到瓶颈伸入了瓶壁才到达底部。因此按照克莱因瓶的定义来说，这些都是虚假制品，真正的克莱因瓶是无法被制造的，这又是为什么呢？
先来看看能被制造出的莫比乌斯环的性质，前文提到了它属于非三维的物体，但是用来制作它的纸条本质上是属于二维的。大家小时候看的动画片大部分也是二维的，那上面的人物就像纸片一样单薄，因此我们也叫它们“纸片人” 。所以莫比乌斯环其实是使用二维变换，证明了三维的一些理论。
可是克莱因瓶本质上已经属于四维空间了，因此我们在三维空间当中制作出的克莱因瓶看起来不伦不类，完全与它的本质不符。克莱因瓶连续性的特质正是导致它无法被制成的根本原因，实际制作当中，这个瓶颈与瓶壁的面势必会产生相交，导致连续性发生中断。所以我们看到的商家出售的那些克莱因瓶，早已失去了连续性和单侧性，这种瓶子完全不符合克莱因瓶的理论。
所以，三维世界中瓶颈和瓶壁相交的那个点，是它们在三维坐标系当中共用了一个位置，如果放进四维空间，就不会有相交的表现。大家可以试着想象将那个位置提起来，绕过瓶壁。就像最初数学家们为了方便我们利用线条理解莫比乌斯环举的例子，如果在纸上画一个8 ，那么它中间的位置必然是相交的。
但是使用拓扑学，用一个橡皮圈绕着一个8的形状，那一位置就没有相交，你可以轻松地拿起位于上端的部分。莫比乌斯环从简单的二维跨越到了三维，正是利用这这种方法。