机器|哥德尔—一个真正的思想革命家，揭示人类与机器思维的本质区别( 二 ) 伯特兰·罗素|爱因斯坦

罗素意识到，这个问题在数学上也是可以推广的。只需考虑一个集合，例如，自然数的集合，正在读这篇文章的人的集合，你坐过的椅子的集合等等。还有一个集合的集合。
罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S ，根据S的定义， S就不属于S；反之，如果S不属于S ，同样根据定义， S就属于S 。无论如何都是矛盾的。
数学不应该允许这样的事情发生。然后，罗素向弗雷格解释了他的研究结果。这是弗雷格的问题，也是集合理论的问题。在某种程度上，弗雷格让问题变得清晰起来，因为他对自己的假设非常清楚。
集合论中一个重要的概念是幂集。幂集是所有子集的集合。根据集合理论，任何集合都存在对应的幂集。

所谓幂集（Power Set），就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族。可数集是最小的无限集；它的幂集和实数集一一对应（也称同势），是不可数集。不是所有不可数集都和实数集等势，集合的势可以无限的大。如实数集的幂集也是不可数集，但它的势比实数集大。设X是一个有限集， |X| = k ，根据二项式定理， X的幂集的势为2的k次方——百度百科

乔治-康托尔，集合理论之父

一个集合的势（cardinality）是集合的大小，即有多少元素在里面。因此，如果两个集合具有相同的势，那么这两个集合可以一一对应。因此，不通过计算就能知道两个集合的大小关系。例如，我不需要做任何计数就能看到一个房间里的座位比人多，我只需要知道每个人和座位配对情况。
这一点很重要，因为它对无限的集合也有效。但是，这如何与幂集联系起来，以理解势的概念？
这就引出了康托尔定理（Cantor’s theorem）
康托尔定理告诉我们，一个集合本身的势严格小于其幂集的势。自然数集的幂集是无限的，它们是比自然数集本身更大的一个无限集。自然数集的幂集的幂集比自然数的幂集要大，不断取下去，会得到一个越来越大的幂集（一个更高阶的无穷大）。如果存在一个无限的集合，就有无限多的无限幂集，而且一个比一个大。这导致了各种奇怪的难题。
有无限多的无穷数的想法让人感到很不安，自然数集是最小的无穷集。有多少个偶数自然数？偶数集比自然数集小吗？并非如此，这是人类的认知噩梦，这里不展开讨论。
想象一下，有一个无限大的酒店，里面有无限多的房间，而且都住满了客人。然后又来了一个客人，想要一个房间。前台说：\"对不起，我们不能收留你，酒店已经满了。 \" 但是，老板说：\"可以收留！我们可以把这个人移到1号房间，把1号房的人搬到2号房，然后把2号房的人搬到3号房……现在就有一个额外的房间了。这就是在无穷大中出现的一个奇怪的现象，总是可以腾出一个房间。
这里，我解释一下当时弥漫在数学文化中的问题。其中一个来自于历史上最伟大的数学家之一——大卫-希尔伯特。
希尔伯特有一个计划，又称证明论计划，是在20世纪初数学奠基问题的论战中，旨在保卫古典数学、避免悖论以解决数学奠基问题的一种方案。

20世纪初，悖论尤其是罗素悖论的出现，引起了当时数学界和逻辑界的极大震动。它直接冲击了以严谨著称的数学和逻辑学科，动摇了传统的数学概念、数学命题和数学方法的可信性标准，也就是说悖论的出现关系到整个数学的奠基问题，从而引起所谓的第三次数学危机。

所以他想到的是把那些关于无限多无限的疯狂想法限制在更合理的东西上，比如说有限集。对于每一个有限集，都会有一个更大的有限集。
所以他想在有限数学（离散数学）的基础上建立一个牢固的理解，然后再在其上建立无限数学。无限的东西最终会成为离散的有限数学之上的一种形式上的伪装。这只是数学的规则。所以我们可以像制定国际象棋的规则一样来对待它。
国际象棋中的 \"车 \"是什么？无非是扮演车的东西。某些规则支配着它。不管它是用木头、纸还是瓷器做成的，都不重要。车只是一个扮演棋子角色的物体，同时具有规则赋予它的所有特征。