寻美食|数学与逻辑是什么关系？数学需要什么样的逻辑？

先来一个段子。
A：不听白叟言，吃亏在面前。
B：吃亏是福。
C：综合A和B得出结论，不听白叟言，福在面前！
作为一个孝敬的宝宝，是不是感觉很有道理，要顶撞的动机是不是蠢蠢欲动！别急，慈爱的长辈有话说！

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三段论
演绎法和归纳法是推理的两种形式，演绎法是由一般到特殊的推理，其主要形式就是包含三部门的三段论法：一个有一般判定的大前提；一个有特殊判定的小前提；一个结论。而三段论演绎法的正确性依赖于大小条件的正确性和包含性，即两个条件均准确的话，结论就是毋庸置疑的。就好比上面的段子：不听白叟言，吃亏在面前是大概率的经验性的，不具备真理性，白叟也出错啊！上面的A和B也不是包含关系啊，可能会有交集。所以结论是不成立的啦。

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数学与逻辑
古希腊数学的发展，经由亚里士多德和欧几里得等人的努力，同比较完善的形式逻辑体系结合起来，成为一门演绎科学。在所有的知识体系中，数学好像成为逻辑性最强的一门学科。逻辑思维是数学证实的工具，是使数学知识理论系统化的手段和数学发现的引导。数学离不开逻辑。反过来，现代逻辑的发展完全得力于数学的发展。不了解现代数学的背景就不可能正确地掌握现代逻辑的脉络。逻辑主义的代表人物罗素曾经以为：
逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的丁壮时代，青年与丁壮没有截然的分界线，故数学与逻辑亦然。
固然逻辑与数学不能混为一谈，但两门学科之间确有盘根错节、水乳交融、难解难分的关系。

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同时很多逻辑范畴内的题目，用逻辑方法很难说得清晰，但将其转化为数学题目后，就变得简单明了。例如个别与一般的关系，在历史上曾长期纠缠不清，在两千多年的历史时期内，一直成为哲学家争论的课题。而集合论观点的引入，使得题目得到解决。
传统逻辑的缺陷
亚里士多德的逻辑处理的是动词“是”的肯定或否定关系，形式是“三段论" ，笛·摩根指出了这种逻辑中存在着缺陷，还夸大逻辑必需处理普遍意义上的关系。传统逻辑主要限于主宾式语句和三段论，因此会有一些缺陷：
日常思维领域里，一些常见的关系命题、推理，无法简朴地归结为主宾式；主宾式语句的限制，很难体现某些量词的实质，而只是反映次要性质。尤其是数学命题中量词是不可缺少的，只用传统逻辑的全称或特称判定都很难表述出来；停留在自然语言上的传统逻辑，没有专门的逻辑符号，而自然语言具有多义性、不够精确，不具有演算性质，就不能把推理转化为演算，易泛起“狡辩”；好比含混不清的指代，需要上下文去判定，而这是严密的逻辑思维所不能接受的。

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基于上述3个原因，传统逻辑须加以改造和发展，于是人们利用数学思惟来研究和发展逻辑，对其进行多视角的透视、立体化的探索，逐渐创建了数理逻辑。数理逻辑对推理形式结构的研究，采用了符号化、形式化、公理化等数学方法：把推理转化为演算，从而克服了传统逻辑的种种缺陷。
数理逻辑
最早设想把数学用于逻辑的是笛卡尔和莱布尼茨，莱布尼茨这样描述他的设计：
普通的数学就比如是想象的逻辑，应该能够论述“在想象范围内可精密确定的一切东西” ，用这样的逻辑可以建立思惟的任何大厦。