陶哲轩之后，有人在这个猜想的证明之路上又前进了一步( 二 )

你或许会思考，是否存在非常稠密但不包含等差数列的数集？
你可以从头开始尝试，使数列中所有数字无法形成一个等差数列。最后得到了序列 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, … 。第一眼看上去似乎很稠密，但是随着数字越来越大，该数列变得非常稀疏，例如当到达 20 位数字时，只有大约 0.000009% 的数字出现在数列中。 1946 年， Felix Behrend 提出了更稠密的示例，但是它们很快就变得稀疏了，数字到达 20 位时，数列中只出现了全部数字的 0.001% 。
现在我们来看另一个极端。如果你的数列包含几乎所有整数，那么它必然包含等差数列。
但是在这两个极端之间是广阔且神秘未知的中间领域。数列稀疏性达到什么程度，仍能确保数集包含等差数列呢？
埃尔德什提供了一个可能的答案。他认为倒数和可以用来揭示「稠密性」：最大数字为 N 的数列的稠密性至少逼近 1/N 的位数。也就是说，数列越来越稀疏是可以的，只要稀疏化速度足够慢就行：如果数列中最大的数是 5 位数，则稠密性至少是 1/5；如果数列中存在 20 位数，则稠密性至少是 1/20 ，依此类推。
当这一稠密性条件得到满足时，埃尔德什猜想，该数列应包含无穷多个任意长度的等差数列。

本文插图
1991 年 6 月，埃尔德什在剑桥大学授课。
1953 年， Klaus Roth 开始证明埃尔德什等差数列猜想。在三年后帮他获得 1958 年菲尔兹奖的一项工作中，他构建了一个可以确保存在等差三元组的稠密性函数，其稠密性没有埃尔德什猜想得那么低，但是随着数列越来越长，该值趋近于 0 。 Roth 的定理意味着数列稠密性将最终低于 1% ，再低于 0.1% ，再低于 0.01%…… 只要稠密性低于这些阈值的速度足够慢，则该数列必然包含等差数列。
Roth 的方法依赖于这一事实：具备其所选稠密性的大多数数列「想要」包含等差数列，它们包含足够多不同的数字对，这些数字对的中心值也属于该数列，从而出现等差三元组。
棘手的部分在于如何将这一属性从「大多数」泛化到「全部」数列，甚至那些结构尽量避免等差数列的数列。
基于一个高度结构化的数列， Roth 想到使用傅里叶变换映射其「频谱」，从而蒸馏数列结构。这可以检测出数列中表现强烈的重复模式，也是 X 光片和无线电频谱底层技术所涉及的数学知识。
一些频率出现的时候要比别的频率更加强烈，这些变体更突出了模式本身，例如强频率可能表明数列包含更多奇数。如果是这样，你只需专注于奇数，这样你就可以得到比最初更加稠密的集合了。 Roth 证明，经过有限数量的蒸馏后，可以获得足够稠密的数字集合，且它们包含等差数列。
在过去的半个世纪中， Roth 的方法启发了解析数论领域的许多发展。斯坦福大学数学系教授 Jacob Fox 表示，「这些是很有影响力的想法。」
从纸牌游戏中找等差数列
Roth 的观点仅对最开始比较稠密的数集有效，否则重复的蒸馏只会使数集衰减。其他数学家逐渐发现一些方法，可以从 Roth 的方法中得到更多，但却无法解决埃尔德什等差数列猜想中的稠密性问题。 Fox 表示，「这似乎是很难跨越的槛儿。」
2011 年， Katz 和 Michael Bateman 发现了在更简单设置下克服上述障碍的方法：在 Set 纸牌游戏中，寻找符合三元组模式的纸牌。他们发现，存在一种精确的方式，可以将匹配的 Set 三元组纸牌看作等差数列，而且就像在整数数列中那样，你可以询问放下哪部分纸牌才能确保找到至少一个三元组。
这个问题是整数数列对应问题的简化版模型，因此数学家希望 Bateman 和 Katz 的发现可以为证明埃尔德什等差数列猜想提供突破口，尤其是与其他近期进展结合之后。