陶哲轩之后，有人在这个猜想的证明之路上又前进了一步

选自Quanta Magazine
作者：Erica Klarreich
机器之心编译
编辑：魔王
在著名的埃尔德什等差数列猜想证明之路上，数学界可能又前进了一步。
埃尔德什等差数列猜想（Erd?s conjecture on arithmetic progressions），又称埃尔德什 - 图兰猜想（Erd?s-Turan conjecture），是由匈牙利数学家、沃尔夫数学奖得主保罗 · 埃尔德什与保罗 · 图兰（Pál Turán）共同提出的关于调和发散数列的等差子序列的数论猜想。
该猜想的内容是：

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埃尔德什等差数列猜想内容。（图源：维基百科）
2004 年，陶哲轩和本 · 格林证明了该猜想的弱化版本。
最近，两位数学家 Thomas Bloom 和 Olof Sisask 解决了这一著名猜想的第一大部分，即整数无穷数列一定包含长度至少为三的等差数列（如 26, 29, 32）。
埃尔德什一生中提出了数千个问题，但哪些数列包含「等差数列」这个问题是他的一生最爱。
「我认为很多人将该猜想看作埃尔德什的 NO. 1 问题，」剑桥大学数学系教授 Timothy Gowers 表示。他是 1998 年菲尔兹奖获得者，曾花费大量时间试图证明这一猜想。「令人高兴的是，一些加性组合研究者有志于探究该猜想。」
【陶哲轩之后，有人在这个猜想的证明之路上又前进了一步】通常，越稠密的数列越有可能包含等差数列，因此埃尔德什提出了一种简单的数列稠密度测试：求数列中所有数字的倒数和。如果数字多到可以令倒数和发散，则埃尔德什猜想该数列应包含任意长度的等差数列，如等差三元组、四元组等。
最近，来自剑桥大学的 Thomas Bloom 和来自斯德哥尔摩大学的 Olof Sisask 发表论文，证明了这一猜想适用于等差三元组（如 5, 7, 9）。他们证明，只要数列中所有元素的倒数和发散，则它必然包含无穷多个等差三元组（即包含三个数字的等差数列）。

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Thomas Bloom 和 Olof Sisask
「这一发现是这么多年来的标志性事件，这是一件大事。」加州理工学院 Nets Katz 教授说道。
质数集合的倒数和是发散的。 20 世纪 30 年代， Johannes van der Corput 使用质数的特殊结构表明，它们确实包含无穷多个等差三元组（如 17, 23, 29）。
但 Bloom 和 Sisask 的新发现意味着，在证明质数数列包含无穷多个三元组时，无需掌握质数的独特结构。你只需要知道，质数的数量足够多，足以使其倒数和发散，而这一点在几个世纪之前就被数学家们发现了。
牛津大学数学研究所高级研究员 Tom Sanders 在一封邮件中表示：「Bloom 和 Sisask 的研究结果表明，即使质数具备与以往完全不同的结构，它们仍然能够保证拥有无穷多个等差数列。」
Bloom 和 Sisask 发表的论文长达 77 页，这需要数学家花费一定的时间和精力认真阅读和评审。不过，很多人乐观地认为他们的证明是正确的。「这个证明确实很像样。」早期工作为这一结果奠定了基础的 Nets Katz 表示。
Bloom 和 Sisask 的定理表明，只要数列足够稠密，特定的模式就一定会出现。该发现符合牛津大学 Sarah Peluse 对数学领域的基本口号：「完全的无序是不可能的。」（这句话最初出自数学家 Theodore Motzki 。）
被掩盖的「稠密性」
只要数列足够稀疏，则使其不包含等差数列是件很简单的事情。例如，对于序列 1, 10, 100, 1,000, 10,000, …（其倒数和为有尽小数 1.11111…）。这些数字的稠密度极速下降，你永远无法从中找出一个长度 3 的等差数列。