科学天下|量子霍尔效应将继续向数学家和物理学家揭示它的秘密在1939年的一次演讲中

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在1939年的一次演讲中，保罗·狄拉克说：“纯粹的数学和物理正变得越来越紧密地联系在一起” 。他接着说，这两门学科可能会统一起来， “纯数学的每一个分支都有它的物理应用” 。
狄拉克的预测是，现在仍然是高度推测性的。今天，这些领域不存在统一的问题。纯数学的技术在经济学、工程学和金融学中得到了应用，但是这些领域没有任何意义，也没有理由成为一个整体。
狄拉克的观点激怒了纯粹的数学家，因为它表明物理学家把数学看作是研究自然世界的工具，而不是一门学科。这种观点可能会阻碍富有成效的合作。但是，当数学家和物理学家试图以相等的条件解决问题时，结果可能是崇高的——正如我们在材料物理学和拓扑学中看到的那样，这是一门研究形状及其在空间中如何排列的纯数学分支。
在这些领域工作的数学家和物理学家对理解量子霍尔效应做出了持久的贡献，这是在40年前的一次变革性实验中发现的。他们是如何做到这一点的，这为各学科——不仅是物理科学领域的学科——能够在共同问题上更成功地相互交流提供了经验教训。

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量子跃迁
量子霍尔效应描述了一个过程，通过这个过程可以精确地测量几层原子厚的材料的电阻。
1879年物理学家埃德温·霍尔发现了最初的霍尔效应，它描述了垂直于金属条的磁场如何使电子沿着金属条的两端聚集，从而产生电压.一个世纪后，物理学家克劳斯·冯·克立津走得更远.他在低温下用原子薄层晶体材料（称为二维电子系统）工作时发现，这种电压是量子化的。也就是说，随着外加磁场的变化，电压会发生跳跃变化。这种现象就是量子霍尔效应。
精确测量电阻的能力来自于冯·克利兹的发现，电阻的量子化值与两个基本物理常数的组合成正比：电子的电荷和普朗克常数。此外，即使材料中含有杂质，量子化电阻的值也是准确的，否则会改变电阻。正因为如此，量子霍尔效应被用来确认欧姆的准确性，欧姆是电阻的单位。冯·科利兹因这一发现于1985年获得诺贝尔物理学奖，而他的论文发表五年后。

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但是纯数学是怎样的呢?拓扑学又是如何被卷入其中的呢?事实证明，当时物理学无法完全解释为什么当磁场变化时电阻会分步变化。在冯·克立津发现两年后，物理学家大卫·索利斯用拓扑学给出了一个解释。他的作品后来被其他人借鉴，并于2016年获得诺贝尔物理学奖。
但是一些数学家对物理学家提出的证明标准并不满意，量子霍尔电阻被列入数学物理中一个著名的未解决问题的清单。

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直到2015年，也就是索利斯的计算33年后，一个更严格的数学证明才被公布，作者是数学家斯皮里登·米查拉基斯和物理学家马修·黑斯廷斯，两人于2008年开始研究这一问题。
理论物理学家和数学家都知道，一个几何物体的平均曲率——比如它的表面——具有拓扑性质。他们还知道局部小变形会影响局部曲率。但要对量子化霍尔电阻进行更严格的解释，则需要将该理论推广到全局曲率。这就是米哈拉基斯和黑斯廷斯所取得的成就，使拓扑学和量子霍尔效应之间的联系变得铁板钉钉。
但无论如何，这个故事还没有结束。拓扑学越来越受到物理学家和资助者的关注，比如纽约市的西蒙斯基金会，该基金会支持数学家和物理学家研究诸如分数量子霍尔效应等难题。在这种现象中，复杂的电子相互作用导致霍尔电阻量子化，其值仅为电子电荷的一小部分。