数学|数学是人类的发明，还是发现？( 四 ) 爱因斯坦|毕达哥拉斯

数学是人类文明对自然的伟大超越！
04
仔细观察拉斐尔的《雅典学院》，就会发现画中暗藏着一个金字塔形的层次结构。
整个《雅典学院》以柏拉图和亚里士多德为中心。
同时他们也是身边人物的视线焦点。

如果以亚里士多德伸出的右手作为顶点，可以做出一个等腰三角形，从台阶之上向下延伸到地板，底边的两个角右边指向毕达哥拉斯，左边指向欧几里得。
注意观察，就会发现这两个数学家也是周围人物的视线焦点。
右边是由达芬奇Cosplay的柏拉图，他的右手竖着中指（啊不，是食指）指向天空，左手夹着《蒂迈欧篇》，象征着「形式」可以构造出理想的世界。
左边是亚里斯多德（可能是米开朗基罗Cosplay），右手拍向大地，左手扶着《伦理学》，象征着「经验」需要通过脚踏实地的观察才能发现。
他们两个人，正好代表了人类获得知识的两种途径：
一种来自演绎、发明，另一种则来自归纳、发现。
拉斐尔用这样的构图来表达，在自然哲学的层级结构中，数学是整个自然哲学的基础。
两者不是非此即彼的关系，而是兼而有之的关系。
发现和发明是数学的不同阶段：

数学家观察自然，在数量和图形中发现了数学规律
数学家根据发现，设计出新的数学元素，并通过演绎引入了无穷
无穷将自然定律变成了数学定理，数学逐渐开始超越自然
数学家发明出大量新的数学元素和规则，开拓出一个又一个的数学无穷宇宙
人类借助数学宇宙中超越自然的力量，实现了科学、技术的大繁荣
数学起源于自然，独立于自然，超越了自然，最终演化为一个全新的世界

所以，发明和发现在过程上是统一的，并非对立。
PS：
01
如果有外星高级智慧，他们想用一种工具来描述那些规律的时候，会发明另一种类似数学的东西，而不是人类数学么？
提到外星人，我倒是确实想象过外星人的数学可能是什么样。我们的数学，是从自然数出发，从离散到连续，从静止到变化（从数到函数到微积分），这可能跟我们的生理构造有关。我们生活在空气中，可以很清晰地分辨出物体的轮廓，可以很自然地数数，所以离散、相比、连续，对我们来说更自然。但有没有可能发生相反的情况呢？有没有可能有某种生活在半透明的液体中的智慧生物，他们靠低频段电磁波或者声波来感知周围的物体。对他们来说，连续变化的量比离散的整数更符合直觉？而这又导致他们的数学发展史与我们截然不同，以至于微积分、拓扑比数论更基本？他们可能对数的大小、函数的变化速率非常敏感，但是却需要经过训练才能理解什么是整数、什么叫奇数偶数、什么叫整除。
当然这都是我的胡思乱想，我只是觉得人类认知数学的方式，跟人类本身的感知方式是有关系的。之前听xx老师的报告，说为什么代数里面定义乘法，只有左乘、右乘，没有上乘、下乘呢？初听起来这个问题很蠢，但仔细思考之后里面有不平凡的想法。我们传统的代数结构是一维的，所以只有左右两个方向；但是现代的Hopf代数、量子群等等更复杂的代数结构，他们的定义在数学公理的层面上是非常繁冗的。但是，从高维量子场论的角度去看，他们其实是一维代数结构的自然推广。 ——老师原话具体我也不太理解。至于为什么传统代数结构是一维的呢？因为我们传统的书写、阅读方式就是一维的啊；我们是一行一行写，写完一行换一行。我们集成信息的方式就是把信息当成一个巨大的字符串啊。这么一想，我们先天固有的感知方式，可能对我们发展数学概念确实有难以察觉的深刻影响。（@Yuhang Liu）
02为什么中国人数学这么牛，却几乎没有中国人发现的数学定理？简答。一个历史残片。 Theorem: (Chu-Vandermonde sum)这里Chu指的是中国数学家：朱世杰朱世杰（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。（百度百科复制的）其实朱世杰在1303年就得到了这个公式。但。很长一段时间以来，这个杰出又如此有用的的公式是被归在Vandermonde名下的。后来特殊函数论领域的权威R. Askey通过查阅文献得知了朱世杰的工作，才重新（建议）称之为Chu-Vandermonde求和（公式）的。这一故事的来源是R. Askey著名的著作《Orthogonal Polynomials and Special Functions》第59-60页。