数学|数学是人类的发明，还是发现？( 二 ) 爱因斯坦|毕达哥拉斯

圆周率π
换句话说，数学世界和自然世界是截然不同的两个世界，数学是人类创造出来的全新世界。
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无穷让数学凌驾于其他科学之上
公元前6世纪，古希腊人证明出了第一个数学定理，从此，无穷进入了数学。
第一个定理是泰勒斯证明出来的泰勒斯定理，和他同时代的毕达哥拉斯则证明了勾股定理，并建立了第一个数学学派。

《雅典学院》中的毕达哥拉斯，旁边抄作业的是德莫克里克。维基百科说图中抄作业的是阿那克西曼德，但他比毕达哥拉斯要早，我更倾向于是德谟克利特，反正拉斐尔也没明确他是谁

（当然很可能他们也证明了，只是还没有足够的证据支持）
是无穷让定律和定理之间产生了天壤之别。
定律是对已知规律的归纳总结，将来可能会出现例外情况，改写定律
而定理则通过演绎推理实现了无穷，不存在例外情况，不会被推翻。
所以，毕达哥拉斯之前的古代数学家更多的是发现，他们发现了很多定律，但是没有发明太多超越自然宇宙的数学概念。
而毕达哥拉斯之后的数学家，引入了演绎和无穷，还定义了很多超越自然的概念，导致此后的数学越来越多的是发明。
这是一个历史性的时刻，古希腊哲学家开辟了一个无穷的新世界，而数学也从此开始凌驾于其他科学之上。
高斯称， “数学是科学的皇后” 。
而爱因斯坦也表示认同：

数学之所以拥有超越其他所有科学的地位，是因为数学中的法则是绝对确定和无可质疑的，而其他科学的法则则是可质疑的，并随时有被新发现的事实所推翻的危险。

大部分自然科学中的定律，放在数学中只能算作猜想。
因为这些定律都是观察、归纳而来的，还不能靠严格的证明保证其永远成立。
例如以牛顿定律所构建的经典力学，后来就被相对论和量子力学所改写。

现代物理学

数学的地位要归功于无穷，数学家赫尔曼.外尔也说：

数学被称为关于无穷的科学。的确，数学家发明了有限构造，通过该构造可以解决问题，而其本性却隐含着无穷。

外尔的第一句话，我们已经理解，第二句话也很重要，可是该如何理解呢？
让我们以《几何原本》为例：

利玛窦和徐光启所翻译的拉丁语版《几何原本》

古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，是数学史上最重要的文献之一，这本书的第一句话就暗含了无穷。

定义1. 点：点无法再分割成部分。

有没有意识到，这个定义很古怪，但是哪里古怪，又说不出来。
其实，这是欧几里得在用精巧的话术，想方设法的要绕开无穷，只是为了说明”点“只有位置，而没有大小。
如果直接说“点”没有大小，就必须引出“无穷小”这个至关重要的概念。
所谓”无穷小“是指无限的接近于零，却不等于零。
古希腊人发现”无穷小“会引发很多悖论，他们无法解决，所以只好用“分割”来定义“点” ，回避“无穷小”悖论。
如果有人问，这个定义好像包含了无穷小啊？
你就可以反驳：谁说无穷小了？我说的是”不能再分割“ 。
不管怎么说，无穷隐含其中。

《雅典学院》中手拿圆规作图的欧几里得

定义完了“点” ，紧接着，欧几里得又在“点”的定义基础之上，构造出了“线”的定义：

定义2．线：线是没有宽度的长度。
定义3．线的两端是点。
定义4．直线：直线是线上的点均匀平直的分布。

有了“线”的定义，接下来是“面”的定义，然后是各种“几何图形”的定义， …