「每日科技果粉」通过时间序列建模ARIMA利用过去来预测未来 ARIMA模型是线性回归模型的子集

ARIMA模型是线性回归模型的子集，这些模型试图使用目标变量的过去观察值来预测其未来值。 ARIMA模型的一个关键方面是，在其基本形式中，它们不考虑外生变量。相反，预测纯粹是使用目标变量的过去值（或根据这些过去值制作的特征）进行的。
ARIMA代表自回归综合移动平均线。让我们遍历ARIMA模型的每一部分，以便我们完全理解它。

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AR：自回归
这是最简单的部分。自回归意味着我们根据目标变量的过去值对其进行回归。也就是说，我们将目标变量的滞后值用作X变量：
Y=B0+B1*Y_lag1+B2*Y_lag2+...+Bn*Y_lagn
那很简单。所有这些方程式都表明， Y的当前观测值是其过去n值的线性函数（其中n是我们选择的参数；B0 ， B1等是我们训练模型时拟合的回归beta））。先前的等式通常称为AR（n）模型，其中n表示滞后次数。我们可以通过稍微改变一下表示法来轻松地将其作为对未来的预测：
Y_forward1=B0+B1*Y+B2*Y_lag1+B3*Y_lag3+...Bn*Y_lag（n-1）
现在，我们使用当前值及其过去的滞后来预测未来值（提前1个时间）。
一：集成
集成表示我们对数据应用差分步骤。也就是说，不要运行如下所示的回归：
Y_forward1=B0+B1*Y+B2*Y_lag1+...
我们这样做：
Y_forward1-Y=B0+B1*（Y-Y_lag1）+B2*（Y_lag1-Y_lag2）+...
第二个方程式是说Y的未来变化是Y的过去变化的线性函数。原因是，差异通常比原始无差异值要平稳得多。在进行时间序列建模时，我们希望Y变量是均值方差平稳的。这意味着模型的主要统计属性不会随采样时间的不同而变化。基于固定数据的模型通常更健壮。
例如，以实际GDP（实际是指已针对通货膨胀进行调整）。从图中可以明显看出原始GDP数据不是固定的。它的上升使得该地区上半年的平均GDP远低于下半年的平均值。

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美国实际GDP（来源：圣路易斯联邦储备银行）
如果我们对数据进行差异化，则会得到以下图表。请注意，它现在要平稳得多（多年来的均值和方差大致一致）。

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实际GDP的变化更为平稳
MA：移动平均线
当我第一次研究时间序列时，我假设移动平均值只是Y变量的尾随移动平均值（例如200天移动平均值）。但是，尽管它们在精神上有些相似，但它们是不同的数学实体。
移动平均模型由以下方程式总结：
Y=B0+B1*E_lag1+B2*E_lag2+...+Bn*E_lagn
与AR部分类似，我们在此处使用历史值进行操作，因此会产生所有滞后。但是，这是什么E？在大多数对MA模型的解释中， E通常被称为误差，它代表模型和目标变量之间的随机残差（如果您问我们在拟合模型之前是否有可能出现误差，请按住只是想了一秒钟）。
基本回归模型的完整方程为：
Y=B0+B1*X+E

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【「每日科技果粉」通过时间序列建模ARIMA利用过去来预测未来】我们需要方程式中的E来显示回归输出B0+B1*X仅仅是Y的近似值。左侧的图显示了我的意思。黑点是我们要预测的，蓝线是我们的预测。尽管我们已经成功地捕获了总体趋势，但总会有一些无法捕获的特质差异。 E项解释了这个未捕获的部分，换句话说， E表示我们的模型提供的准确答案和近似正确答案之间的差。
因此，如果您一直在仔细阅读，您可能会问：''在出现模型错误（Es）之前我们不需要先建立模型吗？''你说的没错。 E是我们所谓的不可观察参数。与Y（我们的目标变量）或外生X变量的滞后值不同， E是不可直接观察到的。附带说明，这也意味着我们无法使用OLS拟合ARIMA模型（因为我们有不可观测的参数）。相反，我们需要像这样的迭代估计方法，该方法可以同时估计beta参数和残差（以及残差项上的beta）。