前方高能！又一个证明地球是圆的办法( 二 ) _小知识

接着，我们来考虑可定向性。莫比乌斯带是最著名的不可定向曲面：如果你从它的边界附近的某个点出发，沿着边界一直走（注：始终不跨越边界），你最终会回到你出发的那一点，唯一的不同是：此时你在莫比乌斯带的另一边。如果你是在可定向曲面上，你知道它具有内外（注：也可能是“上下”或“左右”或类似地其它的）之分；这将导致当你回到出发点时，你永远不会出现上下颠倒的情况。不论你所在的星球是否是可定向的，都可以使用欧拉示性数来确定它的拓扑形状。
最后，我们来考虑边界。你觉得你可以从它的边缘（注：如果存在的话）走出去吗？如果可以的话，有多少彼此分开的这样的边缘？可能只有一个也可能有多个。也许你有理由相信它的形状像一个平环（注：对应于恰有2个分开的边缘）或字体变胖了的“8”（注：对应于恰有3个分开的边缘）。
可定向的情况下，欧拉示性数以及边界的分支数（注：“边界的分支数”为拓扑学术语，可认为即上节中“彼此分开的边缘数”）可以唯一确定你所在的星球表面是何种曲面。如果欧拉示性数是2，你可以确定你是在球面上。增加一个边缘将导致欧拉示性数减少1，所以如果欧拉示性数是1，你就是在有1个洞的球面上，同时它是与平面多边形拓扑等价的。如果欧拉示性数是0，你可能生活在一个环面，或一个平环上。

文章插图
当你知道了你所处的星球看起来像何种拓扑形状之后，接下来你可以试图找出它的几何形状。如果欧拉示性数是2，你可以试着确定你是否生活在球体，正方体，足球，或其它一些奇怪的形状的表面上。在这里欧拉示性数就帮不了你了。我建议你从埃拉托斯特尼（Eratosthenes）以及其他古代天文学家那里吸取经验，用影子来研究地球在每一特殊的点处是如何弯曲的。爱萨恩·西格尔（Ethan Siegel）会告诉你关于这些的一切。
致谢：我第一次接触到“使用欧拉示性数来确定星球的拓扑形状”这个想法，是在我的朋友、犹他大学的数学家凯文·沃特曼（Kevin Wortman）的一次演讲中。B.o.B.以及Neil deGrasse Tyson激励我完成了本文的写作。
*为回应评论，我需要说明一下，你围起来的区域，中间不能有洞。也就是说，它们应该像盘子，而不是平环。用专业术语来说就是“单连通” 。确保每个区域都是“单连通的”的一个方法是把曲面分割成一个个三角形（注：用专业术语来说就是“三角剖分”曲面）。