量子力学：这很物理，既然不确定，为什么还说量子力学是精确的？傅里叶

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量子力学是对物质行为包括行为细节描述的一种物理学理论，尤其是对发生在原子尺度上的事件的精确描述。微观粒子具有波粒二象性，是不确定的，怎么量子力学却是精确的呢？要回答这个问题，我们就必须要了解物理学家们是如何对微观粒子进行测量的实际问题。
一、测量问题的提出20世纪初，物理学研究的范围从宏观进入到了微观领域。光子、电子等微观粒子成为了物理学家们的研究对象。当波尔提出了原子结构（轨道模型）之后，一个巨大的困难摆在所有物理学家们的面前——直接观测电子在原子内的位置和速度是不可能的。
在经典力学中，行星围绕太阳公转是一种非常简单的周期性运动。我在专栏《物理的门道》中介绍过，开普勒计算火星轨道的时候，利用的是行星的位置和速度（角速度）数据。
按照开普勒的思路，结合轨道模型，想弄清楚电子在核外运动的规律，同样需要测量的物理量也应该是电子的位置和速度。很显然这个方法用在原子内的电子身上行不通。
按照波尔的解释，电子在原子内的轨道之间发生跃迁的话，就会释放出电磁波（发光），而光是可以被仪器探测到的。通过检测光的频率和强度，物理学家们就可以间接了解到电子在原子核外的运行规律。波原子模型在解释氢原子光谱上，理论计算与实验检测符合得非常好，所以根据这个模型来推测电子在核外的运动规律是有一定基础的。
二、对可观测的物理量建立数学模型在经典物理中，描述质点的运动是用运动方程。同样道理，对于电子在原子核外的运动我们也需要建立一个数学方程来描述。电子在核外轨道上做周期性运动，周期性运动可以用周期函数来描述，而周期函数可以展开为傅里叶级数，展开后得到的就是频率和振幅。
观察氢原子的谱线可以发现，这些谱线并不是等间距（谱线的位置代表频率，间距就是频率差）分布的，谱线的频率之间呈现杂乱无章的状态。所以描述谱线展开的傅里叶级数应该是一种变异傅里叶级数。
这就像我们的人民币一样，不是1元、2元、3元、4元、5元、6元……面值为等间隔，而是只有1元、2元、5元、10元……这些基本面值。通过这些基本面值可以组合成任何需要支付的钱数。
【补充阅读】法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。
【量子力学：这很物理，既然不确定，为什么还说量子力学是精确的？】
三、从数学模型回到物理测量如果这种变异的傅里叶级数展开是可能的，那么两个轨道的乘积满足一个很奇怪的求和规律。这种描述实在太数学了，咱们翻译成物理的语言，就是说电子的周期性运动可以分解成很多子运动的叠加，这些子运动又能描述为一些更基本的运动的叠加。
把电子在核外的运动分解为傅里叶级数之后，得到的是所有可能的频率和振幅。从这个角度回头再看玻尔的原子模型的话，电子轨道并没有什么存在的意义，或者直接说，电子是没有轨道的。进一步思考，如果电子没有轨道，那么电子的位置和速度这两个物理量就没有意义。