复合函数求法（不单调的函数有反函数） _求法

大家好，我是专升本数学学霸，这次我们继续来讨论反函数及其求法和复合函数、函数的四个基本性质。那你知道反函数及其求法和复合函数、函数的四个基本性质吗？学霸来帮你来了。
一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y)。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数，三角函数和反三角函数等。
怎么求反函数呢？求反函数的方法：
①先求原函数的值域和定义域
②用y来表达x的式子。
③交换x和y的位置。
例如：求y=e^x(x∈R，y>0)的反函数。
解：定义域为一切实数，值域大于0, 。
用y来表达有x的式子。
x=ln y 交换x和y的位置得到： y=ln x 。
所以 y=e^x(x∈R，y>0的反函数为y=ln x(x >0,y∈R) 。
接下来，我们一起来讨论复合函数，讨论复合函数之前先来看看有哪些基本初等函数：
①幂函数

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图1 幂函数

②指数函数

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图2 指数函数

③对数函数

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图3 对数函数

④三角函数

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图4 三角函数
⑤反三角函数

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图4 反三角函数

以上五类统称为基本初等函数，由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数。如

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图5 基本初等函数
复合函数是复合映射的一种特例，按照统称函数的记号，复合函数的概念：
设函数 y=f(u)的定义域为D1，函数u=g(x)的定义域为D2，其值域在D1内，则由下式确定的函数：
y=f [ g ( x ) ]
称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数，它的定义域是D2，变量u是中间变量。
例如 y=arcsin cos x，令u=cos x,则 y=arcsin cos x 有y=arcsin u和u=cos x复合而成。
我们继续讨论函数的几个性质：函数的有界性、函数的周期性、函数的奇偶性、函数的单调性、函数的对称性。
①函数的有界性
若存在两个常数m和n，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤n,x∈D。则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，Mn是它的上界。
设函数f(x) 在数集 A上有定义，如果存在常数M＞0，使得对任意x∈A，有

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则称函数f(x) 在数集A上有界，否则称为无界。
例如y=sin x 是有界函数，上界为1，下界为-1.y=x是无界函数。
②函数的周期性
设函数 f(x)的定义域为D，如果存在一个正数 l ,使得对于任一x∈D有（x ± l）∈D，且 f(x+l)=f(x) 恒成立，那么称f(x)为周期函数，通常我们所说的周期函数的周期是最小正周期。例如：sin x，cos x都是以 2π 为周期的周期函数。
③函数的奇偶性
设函数 f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任一 x∈D，f(-x)=f(x)恒成立，那么称f（x）为偶函数。如果对于任一 x∈D，f(-x)=-f(x)恒成立，那么称f（x）为奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称
例如：f(x)=x^2是偶函数，因为 f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x) 。关于y轴对称，
f(x)=x^3是奇函数，因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x) 。关于x轴对称。
④函数的单调性
设函数f(x)的定义域D，区间 I 是D的子集，如果对于区间I上任意两点 x1及x2，当
x1＜x2时，恒有f（x1）＜f(x2)，那么称函数f（x）在区间 I 上是单调递增；
如果对于区间I上任意两点 x1及x2，当 x1＜x2时，恒有f（x1）＞f(x2)，那么称函数f（x）在区间 I 上是单调递减。单调递增和单调递减统称为单调函数。
例如：y=x^2在区间[0,+∞）上是单调递增，在区间（-∞，0]是单调递减；所以y=x^2在（-∞，+∞）上不是单调函数。
关于反函数及其求法和复合函数、函数的四个基本性质就到此为止，专升本考试考不到多难，只要掌握函数这些概念，考试没问题。下次我们讨论关于函数其他问题和极限。
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