一路凯伴|初二上学期，勾股定理相关的直角三角形多解题目，轻易漏解

在勾股定理中，有些问题是多解，涉及这类问题，许多同学都轻易漏解。常见的分类尺度有：边是直角边仍是斜边，三角形是锐角三角形仍是钝角三角形，特别是没有图形的问题，在解题时一定要多画图多思索，可能就是多解题。

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1.根据边分情况讨论
例题1：直角三角形的两边长为3和4 ，则该三角形的第三边为________ .
分析：分两种情况考虑：当4为斜边时，利用勾股定理求出直角边上即为第三边；当4为直角边时，求出斜边即为第三边．

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在本题中， 4可能是最长边（是斜边），也可能不是最长边（是直角边），因此需要分两种情况进行讨论。
变式1：直角三角形的两边长为3、4 ，则第三边的平方为________ .
分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边仍是斜边，所以求第三边的长必需分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．

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与例题1一样的题目，看清楚问题再写。

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2.根据三角形的外形分情况讨论
例题2：已知△ABC中， AB=17cm ， AC=10cm ， BC边上的高AD=8cm ，则边BC的长为________ .
分析：利用勾股定理列式求出BD、CD ，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况求出BC的长度，即三角形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形．

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变式：在△ABC中， AB=25 ， AC=30 ， BC边上的高AD为24 ，第三边BC的长为________ .
分析：利用勾股定理可求出BD、CD的长度，分点D在线段BC上及点D在线段CB的延长线上两种情况求出BC的长，此题得解．

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按照三角形的分类进行解题时，三角形一般分为锐角三角形或钝角三角形。

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3.根据角分情况讨论
例题3：长方形纸片ABCD中，已知AD=8 ， AB=6 ， E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC ，当△EFC为直角三角形时，求BE的长度.
分析：分两种情况：①当∠EFC=90°时，先判定出点F在对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC ，设BE=x ，表示出CE ，根据翻折变换的性质可得AF=AB ， EF=BE ，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF=90°时，判定出四边形ABEF是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE=AB．
解：①当∠EFC=90°时，如图1 ，
∵∠AFE=∠B=90° ， ∠EFC=90° ，
∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD的边AD=8 ，
∴BC=AD=8 ，
在Rt△ABC中， AC=10 ，设BE=x ，则CE=BC-BE=8-x ，由翻折的性质得， AF=AB=6 ， EF=BE=x ，
∴CF=AC-AF=10-6=4 ，
在Rt△CEF中， EF^2+CF^2=CE^2 ，即x^2+4^2=（8-x）^2 ，
解得x=3 ，即BE=3；

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②当∠CEF=90°时，如图2 ，由翻折的性质得， ∠AEB=∠AEF=1/2×90°=45° ， ∴四边形ABEF是正方形， ∴BE=AB=6 ，综上所述， BE的长为3或6．
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