卟学怪谈：如何比较复数大小

常有人问，我们知道，实数可以比较大小。那么对实数扩展而成复数来说，那复数怎么比较大小?对于一般数学而言，复数z=a+bi(a,b为实数) ，当b=0时,为实数可以比较大小。当b不为零时为虚数(a=0时为纯虚数)不能比较大小。因为通常数学上所谓大小的定义是在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也似乎没有什么意义。而卟学的超数学，则认为，复数的大小即复数的模的大小。设复数z=a+bi(a,b∈R) ，则复数z的模|z|=|a+bi|=√(a2+b2) ，它的几何意义是复平面上一点(a,b)到原点的距离。因为实数的大小就是它在数轴上跟原点的距离，那么复数的大小就是复平面上它跟坐标轴原点的距离，而这距离正是复数的模。可以看出，根据这定义中，如果z=a+bi中，当b=0 ，则复数z变为实数a ，而复数的模也为a ，与实数的大小的定义一致。而当a=0时，复数z为纯虚数bi ，此时复数的模为b 。对纯虚数bi ，也可以通过b来比大小。也就是说，以复数的模来为复数大小的话，包含了实数的大小，还得到了纯虚数的大小。这是实数大小概念在复数中的自然推广。如果认为复数除了大小，还有方向，即视复数为矢量，此时比较复数大小，也就是比较矢量大小。一般数学认为，只有相同方向的矢量能比较大小，不同方向的矢量无法比较大小。或者干脆只比矢量的数值大小，不考虑方向，即把矢量当标量看。这前一种看法相当于认为复数中只有实数能比较大小，后一种看法即认为复数的大小即它的模的大小。超数学认为，考虑了方向的矢量，它的大小就要加上方向的影响，成为偏差值的大小。就像物理学中，比较不同方向的力的大小，就是看它们对受力体的状态改变程度的大小。一般通过力矩或作功来衡量。同样，矢量的偏差值也通过切线或法线方向的投影积来衡量。这就如微积分一样，偏差值的大小实际上就是矢量线围岀的面积大小。所以，作为矢量的复数比大小，就是比偏差值，这时比的就不是长度大小，而是面积大小了。正如同样的产生的力矩和作的功不一定相等，矢量由法线或切线方向计算出的偏差值也不一定相等。所以，不同的标准下，复数的大小比较的结果不一定相同。这从另一方面证明了，大小都是相对的。